2008 高考试题
x2 =
4 + λx 1+ λ x , y2 = …………………………………② 1+ λ 1+ λ
由于 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 在椭圆上，将①②分别带入 C 的方程
x2 y 2 + = 1 ,整理得： 4 2
( x 2 + 2 y 2 4)λ 2 4(2 x + y 2)λ + 14 = 0 ………………③ ( x 2 + 2 y 2 4)λ 2 + 4(2 x + y 2)λ + 14 = 0 ………………④由④-③得
8(2 x + y 2)λ = 0 .
∵ λ ≠ 0 ,∴ 2 x + y 2 = 0 .即点 Q ( x, y ) 总在直线 2 x + y 2 = 0 上. 方法二：设点 Q ( x, y ) , A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,由题设， PA 、 PB 、 AQ 、 QB 均不为 0,记
λ=
PA AQ
=
PB QB
,则 λ > 0 且 λ ≠ 1 .
又 P, A, Q, B 四点共线，从而 PA = λ AQ , PB = λ BQ ,于是：
4=
x1 λ x2 y λ y2 ,1 = 1 ; 1 λ 1 λ x + λ x2 y + λ y2 ,y= 1 . x= 1 1+ λ 1+ λ
从而
x12 λ 2 x 22 1 λ2
= 4 x ……………①
y12 λ 2 y 22 1 λ2
= y ……………②
又点 A, B 在椭圆上，即
x12 + 2 y12 = 4 ………………③ x22 + 2 y 22 = 4 ………………④①+2 × ②并结合③,④得 2 x + y 2 = 0 ,即点 Q ( x, y ) 总在直线 2 x + y 2 = 0 上.