2014年高三数学
（3）依题意，x 0，g(x) xlnx a(x 1)， g (x) 1 lnx a，令1 lnx a 0，则x e所以当x (0,e
a 1
a 1
，
)，g (x) 0，g(x)单调递减；x (ea 1, )，g (x) 0，g(x)单调递增；
a 1
又x [1,e]，所以①当e
1，即a 1时，g(x)的极小值为g(1) 0；②当1 ea 1 e，即1 a 2时，
g(x)的极小值为g(ea 1) a ea 1；③当ea 1 e，即a 2时，g(x)的极小值为g(e) a e ea 1.
故①当a 1时，g(x)的最小值为0；②当1 a 2时，g(x)的最小值为a e最小值为a e e
a 1
a 1
；③当a 2时，g(x)的
.
考点：用导数法求函数的极值，最值.
x2y2
19.（本小题14分）已知椭圆C：2 2 1(a b 0)，
ab
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为
，求椭圆的标准方程； 2
（2）在（1）的条件下，设过定点M 0,2 的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B，且 AOB为锐角（O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围；