概率论与数理统计
Ke 2 x 3 y 例3.5 已知 ( X , Y ) ~ f ( x, y ) = 0+∞ +∞+∞ +∞
x > 0, y > 0 其它
(1)求常数 ；(2)求联合分布函数 求常数K; 求联合分布函数 求联合分布函数F(x,y);(3) 求概率 求常数 ； 求概率P(X+2Y≤1)。 ≤ 。 解 (1) ∞ ∞
∫∫+∞ 0
f ( x, y ) dxdy = 1 2 x
dx ∫ Ke 2 x 3 y dy = 1 ∫0 0
y
K∫e
dx ∫ e0
+∞
3 y
K dy = = 1 6
K=6x+2y=1
(2) F ( x, y ) =x y
∫ ∫ 6e 2u 3v dudv = 0 0 0
∞ ∞
∫ ∫ f (u, v)dudv(3)x > 0, y > 0 其它O1 1 x 2
x y
x
P ( X + 2Y ≤ 1) = ∫ dx ∫ 6e 2 x e 3 y dy0 0
(1 e 2 x )(1 e 3 y ) x > 0, y > 0 = 0 其它
= 2 ∫ e0
1
1 (1 x ) 2 x 3 y 2 0
e
dx ≈ 0.5135