江华瑶族自治县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
精选高中模拟试卷
第 13 页，共 18 页 综上述：a ≤0时，f （x ）的单调递增区间是（0，+∞）；
a ＞0时，f （x ）的单调递减区间是（0，a ），单调递增区间是（a ，+∞）．
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a ≤0时，f （x ）无最小值，不合题意；
当a ＞0时，[f （x ）]min =f （a ）=1﹣a+lna=0，
令g （x ）=1﹣x+lnx （x ＞0），则g ′（x ）=﹣
1+
=，
由g ′（x ）＞0，解得0＜x ＜1；由g ′（x ）＜0，解得x ＞1．
所以g （x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
故[g （x ）]max =g （1）=0，即当且仅当x=1时，g （x ）=0．
因此，a=1．
（ⅱ）因为f （x ）=lnx ﹣
1+，所以a n+1=f （a n ）
+2=1++lna n ．
由a 1=1得a 2=2于是a 3
=+ln2
．因为＜ln2＜1，所以2＜a 3
＜．
猜想当n ≥3，n ∈N 时，2＜a n
＜．
下面用数学归纳法进行证明．
①当n=3时，a 3
=+ln2，故2＜a 3
＜．成立．
②假设当n=k （k ≥3，k ∈N ）时，不等式2＜a k
＜成立．
则当n=k+1时，a k+1=1++lna k ，
由（Ⅰ）知函数h （x ）=f （x ）
+2=1++lnx 在区间（2
，）单调递增，
所以h （2）＜h （a k ）＜h
（），又因为h （2）
=1++ln2＞2，
h
（）
=1+
+ln ＜
1++1
＜．
故2＜a k+1
＜成立，即当n=k+1时，不等式成立．
根据①②可知，当n ≥3，n ∈N 时，不等式2＜a n
＜成立．
综上可得，n ＞1时[a n ]=2．
【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，
考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等，属难题．
20．【答案】