又∵AE=AC ∴AE = EC =AC
∴△AEC是等边三角形
∴∠EAC=60°---------------------2分
⑵ ∵DE⊥AC于点F ∴∠AFE=90° ∵∠EAC=60° ∴∠AEF=30° ∵AD∥BC
∴∠BAD=∠ABC=90° ∵AD=2
∴AE=23------------------------------------------4分
∵∠ABC=90° ∴CB⊥AE
又∵△AEC是等边三角形
1
∴AB=AE=3---------------------------------------------5分
2
20．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC于点F，交AB的延长线于点E． ⑴求证：直线DE是⊙O的切线；
4
⑵当cosE=，BF=6时，求⊙O的直径．
5
⑴证明：联结BD、OD. ∵AB是直径 ∴∠ADB=90° ∵AB=BC ∴AD=DC ∵AO=OB
∴OD∥BC -------------------------------------1分 ∵DF⊥BC ∴DF⊥OD
又∵点D在⊙O上
∴直线DE是⊙O的切线.-----------------------------2分
4
⑵解：∵DF⊥BC，cosE=，BF=6
5
∴可得EF=8，BE=10-------------------------------3分 ∵OD∥BC
∴△EFB∽△EDO BFBE∴ ODEO
610
设半径为x. 则 . 解得x=15
x10 x