数学
§1 定积分的概念、性质和微积分基本定理
1. 试用定积分表示下列各个极限：
1n3
（1）lim4 k；
n nk 1
1nk
（3）lim ；
22n nk 1n k2. 证明下列不等式： 1
1dx （1） 2dx ；
0261 x315
（2）2 1 x6dx 。
12
3．计算下列导数：
dtan2x
t2dt； （1） dx0
4. 求下列极限： （1）lim
x 0
1nnk
（2）lim 2； 2n nk 1n k
1
（4）limn(n 1)(n 2) (2n)。
n n
dln(1 x)
ln(1 t2)dt。 （2） dx x
x0
sintdt
；
（2）lim
x 0
2
sin2x0
(e 1)dt
t2
xln(1 x)
5. 计算下列定积分：
2
x2sinx
。
（1） 4sin2xdx；
（2）
20
cosx
dx；
1 sinx
（3）
10
xdx x2
；
（4） (1 lnx)dx。
1
e
a 1
6. 设函数f在 ,a 上非负连续（a 0），且 1xf(x)dx 0，证明：
a a
a 1
a
xf(x)dx
1 1
2
a1a
f(x)dx。
7. 设函数f在[ 1,1]上非负连续，且 xf(x)dx 0。证明：
1 1
x2f(x)dx f(x)dx。
1
1
8. 设f在[0, )上连续递增，证明：对于任意给定的b a 0，成立
ba1 b
b f(x)dx a f(x)dx 。 axf(x)dx 2 0 0
bbdx
9. 设函数f在[a,b]上连续，且f(x) 0。证明： f(x)dx (b a)2。
aaf(x)
10．设函数f在[a,b]上导数连续，且f(a) f(b) 0，f (x) 4。证明：
4(b a)2
ba
f(x)dx maxf (x)。
a x b