数学
3 定积分的计算
1．计算下列定积分：
（1） xsinxdx;
20
2
（2） xsin3xdx;
（3） esinxdx;
201
2x
（4） xarcsinxdx;
1
（5） xarctanxdx;
0（6） ln(1 x2)dx;
1
（7） 4xtan2xdx;
0（8） x21 x2dx。
1
2．计算下列定积分：
21
（1） dx;
1x(1 lnx)1(x 1)dx
; （3）
12 x2
1
（2）
2(x 2)dx
2
2
xx 11arctanxdx
; （4） 0(1 x2)3/2
;
ex 1
dx; （5）
0ex
1
（7） 4d ;
0cos4 sin4 3．计算下列定积分：
（6）
20
sin3x
dx;
sinx cosx
（8） x3 x2dx。
1
（1） max(x,x)dx;
2
2
（2） x exdx;
2
（3）
1
dx1 2
1x
1
dx;
（4）
2
2
cosx cos3xdx;
（5） sin2xcos3xdx;
（6） xx2dx。
2
4．计算定积分In
sin2nx
dx。 sinx
x0
5．设f是( , )上的连续函数，F(x) (x 2t)f(t)dt，证明： （1）若f为偶函数，则F(x)也是偶函数； （2）若f为递减函数，则F(x)是递增函数。
2
3 1 x,x 0,
6．设f(x) x ，计算I f(x 1)dx。
x 0. e,
7. 设[0, ]上的连续函数f满足f(x) sinx 2 f(x)dx，求f(x)。
8. 设函数f在(1, )上连续且单调减少，证明
n 1
1
f(x)dx f(k) f(1) f(x)dx。
k 1
n
n
1