数学
．设函数f，g在[a,b]上连续，且g(x) 0。证明：存在 (a,b)，使得
baba
f(x)dx
g(x)dx
f( )
。 g( )
10．设函数f在[0,1]上具有二阶连续导数，且f(0) f(1) 0。证明：
111
（1） f(x)dx x(x 1)f (x)dx；
02011
max|f (x)|。 （2） f(x)dx
0120 x 1
11．设函数f在[0,1]上二阶导数连续，且f (0) f (1) 0，证明存在x0 (0,1)，使得
1f(0) f(1)f (x0)
。 f(x)dx 0
26
2
12．设函数f在[0, ]上连续，证明：lim |sinnx|f(x)dx f(x)dx。
x 0 013. 设函数f在[a,b]上二阶可导，f (x) 0，f(a) f(b) 0，且有x0 (a,b)，使y0 f(x0) 0，f (x0) 0。证明：
（1）存在x1 (a,x0)和x2 (x0,b)，使得f(x1) f(x2) （2） f(x)dx y0(x2 x1)。
ab
y0
； 2
§4 定积分的应用
1．求抛物线y x2与直线y 2x 3所围图形的面积。
1
2．求由曲线y x2，y x2和直线y = 1所围图形的面积。
4
3．求旋轮线x a(t sint)，y a(1 cost)（a 0，0 t 2 ）与x轴所围图形的面积。
4．求r 2cos 与r 2sin 所围公共部分图形的面积。 5. 求r 1 cos 与r 3cos 所围公共部分图形的面积。
6．求由圆盘(x 2)2 (y 3)2 1分别绕x轴和y轴旋转一周，所得旋转体的体积。
7. 求旋轮线x a(t sint)，y a(1 cost)（a 0，0 t 2π）与x轴所围图形绕x轴旋转所成旋转体的体积。
8．求r 1 cos 所围图形绕极轴旋转一周所得旋转体体积。
9．求抛物线y2 4ax(a 0)与过焦点的弦所围图形的面积的最小值，并求出这时的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。 10．求下列曲线段的弧长：