53kT，氦分子的平均动能kT． 2253(3)不相等，因为氢分子的内能?RT，氦分子的内能?RT．
22(2)不相等，因为氢分子的平均动能
7.19 有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱液面0.12m，管的截面积为
-42
2.0310m，当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m，此时温度为
-1
27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为0.004kg2mol)?
MRT 得 MmolpV M?Mmol
RT5汞的重度 dHg?1.33?10N?m?3
解：由理想气体状态方程pV?氦气的压强 P?(0.76?0.60)?dHg 氦气的体积 V?(0.88?0.60)?2.0?10?4m3
M?0.004? ?0.004?(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)R(273?27)(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)8.31?(273?27)?1.91?10?6Kg
7.20 设有N个粒子的系统，其速率分布如题7.20图所示．求 (1)分布函数f(v)的表达式； (2)a与v0之间的关系；
(3)速度在1.5v0到2.0v0之间的粒子数． (4)粒子的平均速率．
(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率．
题7.20图
解：(1)从图上可得分布函数表达式
(0?v?v0)?Nf(v)?av/v0?(v0?v?2v0) ?Nf(v)?a?Nf(v)?0(v?2v0)?(0?v?v0)?av/Nv0?f(v)??a/N(v0?v?2v0)
?0(v?2v0)?f(v)满足归一化条件，但这里纵坐标是Nf(v)而不是f(v)故曲线下的总面积为N，
(2)由归一化条件可得
?
v00N2v0avdv?N?adv?Nv0v0a?2N 3v046
(3)可通过面积计算
?N?a(2v0?1.5v0)??1N 3(4) N个粒子平均速率
v??02v0av2v01?vf(v)dv??vNf(v)dv??dv??avdv
0v0N0v01123211v?(av0?av0)?v0
N329(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率
?v?v00.5v0vdNN1Nv0vdN ??0.5v0N1NNv0Nv0av2 ?vf(v)dv?dv ??0.5v0.5v00N1N1Nv0332av01v0av21av017av0 v?dv?(?)??0.5v0vN1N13v024v0N12400.5v0到1v0区间内粒子数
N1?131(a?0.5a)(v0?0.5v0)?av0?N 28427av07vv??0
6N9?1?17.21 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于vp?vp?100与vp?vp?100之间的分子数占总分子数的百分比．
v，则麦克斯韦速率分布函数可表示为 vPdN42?u2?uedu N?因为u?1,?u?0.02 ?N42?u2?ue?u 得 由 N??N4??1?e?1?0.02?1.66% N?解：令u?7.22 容器中储有氧气，其压强为p＝0.1 MPa(即1atm)温度为27℃，求
(1)单位体积中的分子n；(2)氧分子的质量m；(3)气体密度?；(4)分子间的平均距离e；(5)平均速率v；(6)方均根速率v；(7)分子的平均动能ε．
解：(1)由气体状态方程p?nkT得
2p0.1?1.013?105n???2.45?1024m?3 ?23kT1.38?10?300(2)氧分子的质量
Mmol0.032??5.32?1026 kg 23N06.02?10M(3)由气体状态方程pV?RT 得
Mmolm?47
Mmolp0.032?0.1?1.013?105????0.13 kg?m?3
RT8.31?300(4)分子间的平均距离可近似计算
e?(5)平均速率
13n?132.45?1024?7.42?10?9 m
v?1.60 (6) 方均根速率
RT8.31?300?1.60?446.58 m?s?1 Mmol0.032v2?1.73RT?482.87m?s?1 Mmol(7) 分子的平均动能
??55kT??1.38?10?23?300?1.04?10?20J 22iRT 27.23 1mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少? 解：理想气体分子的能量
E??平动动能 t?3 Et?3?8.31?300?3739.5J 22转动动能 r?2 Er??8.31?300?2493J
25内能i?5 Ei??8.31?300?6232.5 J
27.24 一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求(1)氧气和氢气分子数密度之比；(2)氧分子和氢分子的平均速率之比． 解：(1)因为 p?nkT则
(2)由平均速率公式
nO?1 nHRT Mmolv?1.60vO?vH-3
MmolH1?
MmolO4-5
7.25 一真空管的真空度约为1.38310Pa(即1.0310mmHg)，试 求在27℃时单位体积
-10
中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d＝3310m)． 解：由气体状态方程p?nkT得
p1.38?10?3?317mn???3.33?10 23kT1.38?10?3001由平均自由程公式 ?? 22?dn1???7.5 m ?20172??9?10?3.33?1048
7.26 (1)求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；(2)若温度不变，气压降到1.33310Pa，
-10
平均碰撞频率又为多少(设分子有效直径10 m)? 解：(1)碰撞频率公式z?2?dnv 对于理想气体有p?nkT，即
2-4
n?p kT2?d2vp所以有 z?
kTRT8.31?273而 v?1.60 v?1.60?455.43 m?s?1
Mmol28氮气在标准状态下的平均碰撞频率
z?2??10?20?455.43?1.013?1058?1
s ?5.44?1001.38?10?2732??10?20?455.43?1.33?10?4?0.714s?1?231.38?10?273
气压下降后的平均碰撞频率
z?7.27 1mol氧气从初态出发，经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍，求末态与初态之间(1)气体分子方均根速率之比； (2)分子平均自由程之比． 解：由气体状态方程
p1p2? 及 p2V2?p3V3 T1T2方均根速率公式 v?1.732RT Mmolv2初v2末?T1?T2p11? p22p kT对于理想气体，p?nkT，即 n?所以有 ??kT2?dp2
?初T1p2??1 ?末p1T27.28 飞机起飞前机舱中的压力计指示为1.0 atm(1.013310 Pa)，温度为27 ℃；起飞后
5
压力计指示为0.8 atm(0.8104310 Pa)，温度仍为27 ℃，试计算飞机距地面的高度． 解：气体压强随高度变化的规律：由p?nkT及n?n0emgzkT5
?p0e?p0epRT z?ln0
Mmolgp8.31?3001z?ln?1.96?103 m
0.0289?9.80.87.29 上升到什么高度处大气压强减少为地面的75%(设空气的温度为0℃)．
49
p?n0kTe?mgzkT?mgzkT?MmolgzRT解：压强随高度变化的规律
z?pRTln0
Mmolgp8.31?2731z?ln?2.3?103m
0.0289?9.80.75（7.30 7.31 7.32没有）
习题八
8.3下列表述是否正确?为什么?并将错误更正．
Q?E??pdV?Q??E??A（1） （2）
Q2Q?不可逆?1?2Q1 （4）Q1 （3）
解：(1)不正确，Q??E?A
??1?(2)不正确，
Q?ΔE??pdV
??1?(3)不正确，
?不可逆(4)不正确，
Q2Q1
Q?1?2Q1
A净Q1，A净面积越大，效
8.4 p?V图上封闭曲线所包围的面积表示什么?如果该面积越大，是否效率越高?
??答：封闭曲线所包围的面积表示循环过程中所做的净功．由于
率不一定高，因为?还与吸热Q1有关． 8.5 如题8.5图所示，有三个循环过程，指出每一循环过程所作的功是正的、负的，还是零，说明理由．
解：各图中所表示的循环过程作功都为0．因为各图中整个循环分两部分，各部分面积大小相等，而循环方向一个为逆时针，另一个为顺时针，整个循环过程作功为0．
题8.5图
8.6 用热力学第一定律和第二定律分别证明，在p?V图上一绝热线与一等温线不能有两个交点．
题8.6图
50