动量守恒，即
m2gh?(m?M)v0
则有 v0?于是
m2gh
m?Mmg2m22gh2A?x?()?()?()?k(m?M)20v02
?（3）tan?0??mg2kh1?k(m?M)gv02kh (第三象限)，所以振动方程为 ?x0?(M?m)gmg2kh1?k(m?M)g?k2kh?cos?t?arctan?
m?M(M?m)g???35.13 有一单摆，摆长l?1.0m，摆球质量m?10?10kg，当摆球处在平衡位置时，若
x?给小球一水平向右的冲量F?t?1.0?10kg?m?s，取打击时刻为计时起点(t?0)，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程． 解：由动量定理，有
F??t?mv?0
?4?1F??t1.0?10?4-1??0.01m?s∴ v? ?3m1.0?10按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知t?0时，x0?0,v0?0.01m?s?1 ＞0 ∴ ?0?3?/2
g9.8??3.13rad?s?1 l1.0v2v0.012?3.2?10?3m ∴ A?x0?(0)?0???3.13又 ??故其角振幅
??小球的振动方程为
A?3.2?10?3rad l??3.2?10?3cos(3.13t??)rad
5.14 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动的位相差为
32?，已知第一振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振6动的位相差．
题5.14图
解：由题意可做出旋转矢量图如下．
31
由图知
2A2?A12?A2?2A1Acos30??(0.173)2?(0.2)2?2?0.173?0.2?3/2
?0.01∴ A2?0.1m 设角AA1O为?，则
2A2?A12?A2?2A1A2cos?
2A12?A2?A2(0.173)2?(0.1)2?(0.02)2cos???即 2A1A22?0.173?0.1?0即???2，这说明，A1与A2间夹角为
??，即二振动的位相差为. 225.15 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：
????x?5cos(3t?)cmx?5cos(3t?)cm?1?133(1) ? (2)? 7?4??x2?5cos(3t?)cm?x2?5cos(3t?)cm33??7????2?, 解： (1)∵ ????2??1?33∴合振幅 A?A1?A2?10cm
4?????, (2)∵ ???33∴合振幅 A?0
5.16 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为
??x?0.4cos(2t?)m?16 ?5?x2?0.3cos(2t??)m6?试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。 解：∵ ????5?(??)?? 66∴ A合?A1?A2?0.1m
5?Asin?1?A2sin?266?3 tan??1??5?A2cos?1?A2cos?230.4cos?0.3cos66?∴ ??
60.4?sin?0.3sin其振动方程为
?x?0.1cos(2t?*
?6)m
(作图法略)
5.17 如题5.17图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知x方向的振动方程为x?6cos2?tcm，求y方向的振动方程．
32
题5.17图
解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为转，故知两分振动位相差为
?3?或；又，轨道是按顺时针方向旋
22?.所以y方向的振动方程为 2?y?12cos(2?t?)cm
2习题六
6.6 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同?
解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为y?f(t)；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x，又是时间t的函数，即y?f(x,t)． (2)在谐振动方程y?f(t)中只有一个独立的变量时间t，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程y?f(x,t)中有两个独立变量，即坐标位置x和时间t，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律．
xy?Acos?(t?)u中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持当谐波方程
续不断地振动又是产生波动的必要条件之一．
(3)振动曲线y?f(t)描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y，横轴为t；波动曲线y?f(x,t)描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，
其纵轴为y，横轴为x．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图．
6.7 波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别?
解: 波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，(如题6.7图所示)，因而观察者在单位时间内接收到的完整数目(u/??)会增多，所以接收频率增高；
?而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即u?u?vB，因
u?而单位时间内通过观察者完整波的数目?也会增多，即接收频率也将增高．简单地说，前
者是通过压缩波面(缩短波长)使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率．
33
题6.7 图多普勒效应
6.8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y=Acos(Bt?Cx)，其中A，B，C为正值恒量．求：
(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；
(2)写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程； (3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程
y?Acos(Bt?Cx) (x?0)
将上式与波动方程的标准形式
y?Acos(2??t?2?比较，可知： 波振幅为A，频率
x?
)??B2?，
2?Bu????C，波速C， 波长
12?T???B． 波动周期
(2)将x?l代入波动方程即可得到该点的振动方程
y?Acos(Bt?Cl)
??(3)因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为 将x2?x1?d，及
???2??(x2?x1)??2?C代入上式，即得
34
???Cd．
6.9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10?t?4?x)，式中x,y以米计，t以秒计．求：
(1)波的波速、频率和波长；
(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；
t=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的(3)求x=0.2m
运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点? 解: (1)将题给方程与标准式
?
?1?1相比，得振幅A?0.05m，频率??5s，波长??0.5m，波速u????2.5m?s．
(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为
y?Acos(2??t?2?x)(3)x?0.2m处的振动比原点落后的时间为
vmax??A?10??0.05?0.5?m?s?1 amax??2A?(10?)2?0.05?5?2m?s?2
x0.2??0.08u2.5s
t?1?0.08?0.92s时的位相，
故x?0.2m,t?1s时的位相就是原点(x?0)，在0即 ??9.2π．
设这一位相所代表的运动状态在t?1.25s时刻到达x点，则
x?x1?u(t?t1)?0.2?2.5(1.25?1.0)?0.825m
6.10 如题6.10图是沿x轴传播的平面余弦波在t时刻的波形曲线．(1)若波沿x轴正向传播，该时刻O，A，B，C各点的振动位相是多少?(2)若波沿x轴负向传播，上述各点的
振动 位相又是多少?
解: (1)波沿x轴正向传播，则在t时刻，有
题6.10图
yO?0,vO?0，∴2
对于A点：∵yA??A,vA?0，∴?A?0
??B??2 对于B点：∵yB?0,vB?0，∴
3??C??y?0,vC?0，∴2 对于C点：∵C(取负值：表示A、B、C点位相，应落后于O点的位相) (2)波沿x轴负向传播，则在t时刻，有
?????O??0y??0,vO2 对于O点：∵O，∴
???对于A点：∵yA??A,vA?0，∴?A?0
对于O点：∵
35
?O??