所以， y2?于是钉子第二次能进入的深度为
2
?y?y2?y1?2?1?0.414cm
2.19 设已知一质点(质量为m)在其保守力场中位矢为r点的势能为EP(r)?k/r, 试求质点所受保守力的大小和方向． 解:
?方向与位矢r的方向相反，即指向力心．
nF(r)?dE(r)nk??n?1drr
2.20 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端 一重物C，C的质量为M，如题2.20图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性
势
能之比．
解: 弹簧A、B及重物C受力如题2.20图所示平衡时，有
题2.20图
FA?FB?Mg
又 FA?k1?x1
所以静止时两弹簧伸长量之比为
FB?k2?x2 ?x1k2??x2k1
弹性势能之比为
Ep1Ep22.21 (1)试计算月球和地球对m物体的引力相抵消的一点P，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98310kg，地球中心到月球中心的距离3.84310m，月球质量7.35310kg，
6
月球半径1.74310m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少? 解: (1)设在距月球中心为r处
24
8
22
1k1?x12k?2?21k12k2?x22
F月引?F地引，由万有引力定律，有
GmM月r2?G11
mM地?R?r?2
经整理，得
r?M月M地?M月R
7.35?1022=
5.98?1024?7.35?1022?3.48?108
6?38.32?10m
则P点处至月球表面的距离为
(2)质量为1kg的物体在P点的引力势能为
h?r?r月?(38.32?1.74)?106?3.66?107m
M地EP??G?G?R?r? rM月7.35?10225.98?1024?11??6.67?10??6.67?10??38.4?3.83??107 3.83?107?1.28?106J
11
2.22 如题2.22图所示，一物体质量为2kg，以初速度0＝3m2s从斜面A点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达B点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．
解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有
-1
v12?12?kx??mv?mgssin37??2?2? 12mv?mgssin37??frs2k?12kx2
式中s?4.8?0.2?5m，x?0.2m，再代入有关数据，解得
?frs?k?1390N?m-1
题2.22图
再次运用功能原理，求木块弹回的高度h?
?frs??mgs?sin37o?代入有关数据，得 s??1.4m, 则木块弹回高度
12kx2
h??s?sin37o?0.84m
12
题2.23图
2.23 质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如题2.23图所示．质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．
解: m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有
11mv2?MV222
又下滑过程，动量守恒，以m,M为系统则在m脱离M瞬间，水平方向有
mv?MV?0
mgR?联立，以上两式，得
v?2MgR?m?M?
2.24 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直．
证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有
11122mv0?mv12?mv2222
222即 v0?v1?v2 ①
题2.24图(a) 题2.24图(b) 又碰撞过程中，动量守恒，即有
???mv0?mv1?mv2 ???v?v1?v2 ②
亦即 0?v由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以0为斜边，
??v故知1与v2是互相垂直的．
第三习题
3.7 一质量为m的质点位于(x1,y1)处，速度为
???v?vxi?vyj, 质点受到一个沿x负方向的
力f的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩． 解: 由题知，质点的位矢为 作用在质点上的力为 所以，质点对原点的角动量为
???r?x1i?y1j ??f??fi
???L0?r?mv
?????(x1i?y1i)?m(vxi?vyj)13
??(x1mvy?y1mvx)k作用在质点上的力的力矩为
???????M0?r?f?(x1i?y1j)?(?fi)?y1fk
10
3.8 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为r1＝8.75310m 时的速
4
率是v1＝5.46310m2s，它离太阳最远时的速率是v2＝9.08310m2s
-1
2
-1
阳的距离r2多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)
解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有
1?r2mv2 r1mvr1v18.75?1010?5.46?104r2???5.26?1012m2v29.08?10∴
???????1?v?i?6jm?s3.10 物体质量为3kg，t=0时位于r?4im, ，如一恒力f?5jN作用
在物体上,求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对z轴角动量的变化．
??3???p??fdt??5jdt?15jkg?m?s?1 解: (1)
0
(2)解(一)
x?x0?v0xt?4?3?7
115y?v0yt?at2?6?3???32?25.5j22?3 ????即 r1?4i,r2?7i?25.5j
vx?v0x?1
5vy?v0y?at?6??3?11??3?? ??即 v1?i1?6j,v2?i?11j
???????L?r?mv?4i?3(i?6j)?72k11∴ 1
????????L2?r2?mv2?(7i?25.5j)?3(i?11j)?154.5k
????2?1?L?L?L?82.5kkg?m?s21∴
M?解(二) ∵
dzdt
∴
??t?t??L??M?dt??(r?F)dt00
?3?15??????(4?t)i?(6t?)?t2)j??5jdt023????3??5(4?t)kdt?82.5kkg?m2?s?10
题2-24图
14
3.10 平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为M1的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为
r0时重物达到平衡．
今在M1的下方再挂一质量为M2的物体，如题2-24图．试问这时小球作匀速圆周运动的角速度??和半径r?为多少? 解: 在只挂重物时M1，小球作圆周运动的向心力为M1g，即
M1g?mr0?0挂上M2后，则有
2
①
(M1?M2)g?mr???重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒． 即 联立①、②、③得
2
②
r0mv0?r?mv?
?r02?0?r?2?? ③
?0????r??M1gmr0M1gM1?M23()mrM102M1?M2g?m??M1?r0M1?M23.11 飞轮的质量m＝60kg，半径R＝0.25m，绕其水平中心轴O转动，转速为
-1
900rev2min．现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F，可使飞轮
减速．已知闸杆的尺寸如题2-25图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数?=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．试求：
(1)设F＝100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转? (2)如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力F?
解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))．图中N、N?是正压力，Fr、Fr是摩擦力，
?Fx和Fy是杆在A点转轴处所受支承力，R是轮的重力，P是轮在O轴处所受支承力．
题3.11图（a）
题3.11图(b)
杆处于静止状态，所以对A点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有
15