题2-1图
2.8 一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为?）上以初速度与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
v0运动，v0的方向
v解: 物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取0方向为X轴，平行斜
面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.
?题2-2图
X方向： Fx?0 x?v0t ①
Y方向： Fy?mgsin??may ②
t?0时 y?0 vy?0
1y?gsin?t22
t由①、②式消去，得
1y?2gsin??x22v0
2.9 质量为16 kg 的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为-7 N，当t＝0时，x?y?0，x＝-2 m2s，当t＝2 s (1)位矢；(2)速度．
-1
ffx＝6
N，y＝
vvy＝0．求
解：
ax?(1)
235vx?vx0??axdt??2??2??m?s?10842?77vy?vy0??aydt??2??m?s?10168
fx63??m?s?2m168 fy?7ay??m?s?2m16
于是质点在2s时的速度
5?7??v??i?j48(2)
m?s?1
6
?1?1?22r?(v0t?axt)i?aytj22?1?7?13?(?2?2???4)i?()?4j2821613?7???i?jm48
2．10 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用，t=0时质点
的速度为
v0，证明(1) t时刻的速度为v＝v0ek?()tm；(2) 由0到t的时间内经过的距离为
mv0mk?()tv()0x＝(k)［1-em］；(3)停止运动前经过的距离为k；(4)证明当t?mk时速
1v度减至0的e，式中m为质点的质量．
?kvdva??mdt 答: (1)∵
分离变量，得
dv?kdt?vm vdvt?kdt???v0v0m 即
v?ktln?lnemv0
∴
v?v0ek?mtk?mt
0(2)
(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞，
x??vdt??v0e?tkmv0?mtdt?(1?e)k
故有
x???v0e0k?mtdt?mv0k
m (4)当t=k时，其速度为
v?v0e1v即速度减至0的e.
km?m?k?v0e?1?v0e
?v2.11一质量为m的质点以与地的仰角?=30°的初速0从地面抛出，若忽略空气阻力，求质
点落地时相对抛射时的动量的增量．
解: 依题意作出示意图如题2-6图
题2.11图
7
在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下, 而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30，则动量的增量为
o由矢量图知，动量增量大小为，方向竖直向下． 2.12 一质量为m的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒? 解: 由题知，小球落地时间为0.5s．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为v1?gt?0.5g，小球上跳速度的大小亦为v2?0.5g．设向上为y轴正向，则动量的增量
?mv0????p?mv?mv0
????p?mv2?mv1方向竖直向上，
大小
碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒．
??p?mv2?(?mv1)?mg?2.13 作用在质量为10 kg的物体上的力为F?(10?2t)iN，式中t的单位是s，(1)求4s
后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N2s，
?-1
该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度?6jm2s的物体,
回答这两个问题．
解: (1)若物体原来静止，则
??t?4??p1??Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?s?1i00,沿x轴正向，
????p1?v1??5.6m?s?1im???I1??p1?56kg?m?s?1i ?1若物体原来具有?6m?s初速，则
?tFt??????p0??mv0,p?m(?v0??dt)??mv0??Fdt0m0于是 t??????p2?p?p0??Fdt??p10, ?????v??v1,I2?I1 同理， 2这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，
那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即
I??(10?2t)dt?10t?t2亦即 t?10t?200?0 解得t?10s，(t??20s舍去)
02t
2.14 一质量为m的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为
求质点的动量及t＝0 到解: 质点的动量为
t??2????r?acos?ti?bsin?tj
8
将t?0和
t??2?分别代入上式，得
????p1?m?bj,p2??m?ai,
????p?mv?m?(?asin?ti?bcos?tj)
则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为
??????I??p?p2?p1??m?(ai?bj)
?1vm?s02.15 一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为
F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，
试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．
解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
F?(a?bt)?0,得
(2)子弹所受的冲量
t?ab
t1I??(a?bt)dt?at?bt202
将
t?ab代入，得
a2I?2b
(3)由动量定理可求得子弹的质量
2.16 一炮弹质量为m，以速率v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为
Ia2m??v02bv0
2kT2Tv+m, v-km
证明: 设一块为m1，则另一块为m2，
m1?km2及m1?m2?m
于是得
m1?kmm,m2?k?1k?1 ①
又设m1的速度为v1, m2的速度为v2，则有
T?1112m1v12?m2v2?mv2222 ②
mv?m1v1?m2v2 ③
联立①、③解得
v2?(k?1)v?kv1 ④
将④代入②，并整理得
2T?(v1?v)2km
9
于是有 将其代入④式，有
v1?v?2Tkm
v2?v?2kTm
又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取
v1?v?证毕．
2kT2T,v2?v?mkm
????????F?7i?6jNr??3i?4j?16km2.17 设合．(1) 当一质点从原点运动到时，求F所作
的功．(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能
的变化．
?解: (1)由题知，F合为恒力，
???????∴ A合?F?r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k)
??21?24??45J
A45P???75w?t0.6(2)
?Ek?A??45J
(3)由动能定理，
2.18 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．
解: 以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为
题2-13图
f??ky
第一锤外力的功为A1
kss02 ①
式中f?是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，在dt?0时，f???f． 设第二锤外力的功为A2，则同理，有
A1??f?dy???fdy??kydy?1A2??kydy?1y212kky2?22 ②
由题意，有
1kA2?A1??(mv2)?22 ③
12kkky2??222 即
10