mvsin?21[(m?m0)R2][00]Ek2(m?m0)Rm0sin2???1Ek0m?m02m0v02(2)
3.18 弹簧、定滑轮和物体的连接如题3.18图所示，弹簧的劲度系数为2.0 N2m；定滑轮
2
的转动惯量是0.5kg2m，半径为0.30m ，问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长．
解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有
-1
111mv2?I?2?kh2222
又 ??v/R
mgh?(2mgh?kh2)k2v?mR2?I故有
(2?6.0?9.8?0.4?2.0?0.42)?0.32?6.0?0.32?0.5?2.0m?s?1
题3.18图
习题四
4.3 惯性系S′相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S系中测得两事件的时空坐标分别为x1=6310m,t1=2310s，以及x2=123
4
-4
10m,t2=1310s．已知在S′系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S′系相对S系的速
4
-4
度是多少? (2) S?系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解: 设(S?)相对S的速度为v，
vx)21c(1) v???(t2?2x2)t2c
??由题意 t2?t1?0
???(t1?t1则
t2?t1?v(x2?x1)c2
21
t2?t1c????1.5?108x2?x12m?s?1 故
???(x1?vt1),x2???(x2?vt2) (2)由洛仑兹变换 x1v?c2??x1??5.2?10m 代入数值， x24.4 长度
4l0=1 m
S′系中，与x轴的夹角?'=30°，S′系相对S系沿x轴
′
?运动，在S系中观测者测得米尺与x轴夹角为??45． 试求：(1)S′系和S系的相对运动速度.(2)S系中测得的米尺长度．
解: (1)米尺相对S?静止，它在x?,y?轴上的投影分别为：
?L0sin???0.5m??L0cos???0.866mL?Lx，y
米尺相对S沿x方向运动，设速度为v，对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩，而y方
向的长度不变，即
v2?1?2,Ly?L?Lx?Lxyc
LyL?L?yytan????LxLxv2?1?2Lxc 故
?,L?y??45οLx把
及
代入
v20.51?2?0.866 c则得
故 v?0.816c
(2)在S系中测得米尺长度为
4．5两个惯性系中的观察者O和O?以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果
L?Lysin45??0.707m
O测得两者的初始距离是20m，则O?测得两者经过多少时间相遇? 解: O测得相遇时间为?t
?t?O? 测得的是固有时?t?
L020?v0.6c
L01??2?t????v∴
?8?8.89?10s，
?t??v?0.6c ， 1??0.8 ，
或者，O?测得长度收缩，
22
L?L01??2?L01?0.62?0.8L0,?t??Lv
0.8L00.8?20??8.89?10?8s80.6c0.6?3?10
4.6 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和S?中，甲测得在同一地点发生的两事件的
?t??时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s．求： (1) S?相对于S的运动速度．
(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离．
??x1?′ 解: 甲测得?t?4s,?x?0,乙测得?t?5s，坐标差为?x??x2?t???(?t?(1)∴
v?x)???t2c1v1?()2c?t
v2?t41?2????t5 c?
?t43v?c1?()2?c1?()2?c?t?55 解出
?1.8?108 m?s?1
?t?5?x?????x?v?t?,???,?x?0?t4(2) 53?x????v?t???c?4??3c??9?108m45∴
??x1??0． 负号表示x2
4.7 6000m 的高空大气层中产生了一个?介子以速度v=0.998c飞向地球．假定该?介子在
-6
其自身静止系中的寿命等于其平均寿命2310s．试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和?介子静止系中观测者来判断?介子能否到达地球．
?6?t?2?10s是固有(本征)时间，对地球观测者，?0解: 介子在其自身静止系中的寿命
由于时间膨胀效应，其寿命延长了．衰变前经历的时间为
v21?2c这段时间飞行距离为d?v?t?9470m 因d?6000m，故该?介子能到达地球．
d??v?t0?599m
?t??t0?3.16?10?5s
或在?介子静止系中，?介子是静止的．地球则以速度v接近介子，在近的距离为
?t0时间内，地球接
d0?6000m经洛仑兹收缩后的值为：
??d0d0?d??d0，故?介子能到达地球．
v21?2?379mc
4.8 设物体相对S′系沿x?轴正向以0.8c运动，如果S′系相对S系沿x轴正向的速度也是
23
0.8c，问物体相对S系的速率是多少?
v??0.8c
解: 根据速度合成定理，u?0.8c,xvx?v?0.8c?0.8cx?u??0.98cuv?0.8c?0.8c1?2x1?c2c
∴
4．9 飞船A以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船B以0.6c的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将相遇时A飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在B飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少?
解: 取B为S系，地球为S?系，自西向东为x(x?)轴正向，则A对S?系的速度
v?x?0.8c，
S?系对S系的速度为u?0.6c，则A对S系(B船)的速度为
v?0.8c?0.6cx?u??0.946cuv?1?0.481?2xc
发射弹是从A的同一点发出，其时间间隔为固有时?t??2s，
vx?
题3-14图
∴B中测得的时间间隔为：
?t??t?1?vc2x2?21?0.9462?6.17s
4.10 (1)火箭A和B分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+x和-x方向飞行．试求由火箭B测得A的速度．(2)若火箭A相对地球以0.8c的速度向+y方向运动，火箭B的速度不变，求A相对B的速度．
解: (1)如图a，取地球为S系，B为S?系，则S?相对S的速度u?0.6c，火箭A相对S的速度
vx?0.8c，则A相对S?(B)的速度为：
v?x?vx?u0.8c?(?0.6c)??0.946cu(?0.6c)(0.8c)1?2vx1?cc2
v??0.6c，
或者取A为S?系，则u?0.8c，B相对S系的速度x于是B相对A的速度为： vx?u?0.6c?0.8c???0.946cu(0.8c)(?0.6c)1?2vx1?cc2
(2)如图b，取地球为S系，火箭B为S?系，S?系相对S系沿?x方向运动，速度u??0.6c，A对S系的速度为,vx?0,vy?0.8c,由洛仑兹变换式A相对B的速度为：
v?x?v?x?vx?u0?(?0.6c)??0.6cu1?01?2vxc
24
∴A相对B的速度大小为 速度与x?轴的夹角??为
u21?2vycv??1?0.62(0.8c)?0.64cy?u1?2vxc
2?2v??v?x?vy?0.88c
tan???v?yv?x?1.07
ο???46.8
题3-15图
4.11 静止在S系中的观测者测得一光子沿与x轴成60?角的方向飞行．另一观测者静止于S′系，S′系的x?轴与x轴一致，并以0.6c的速度沿x方向运动．试问S′系中的观测者
观测到的光子运动方向如何? 解: S系中光子运动速度的分量为
vx?ccos60ο?0.500c
vy?csin60ο?0.866c由速度变换公式，光子在S?系中的速度分量为
v?x?vx?u0.5c?0.6c???0.143cu0.6c?0.5c1?2vx1?cc2
u21?2vy1?0.62?0.866ccv?y???0.990cu0.6c?0.5c1?2vx1?cc2
光子运动方向与x?轴的夹角??满足
v?ytan?????0.692v?x
ο??在第二象限为???98.2 在S?系中，光子的运动速度为
正是光速不变．
4.12 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c，又须对它作多少功?
解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得
2?2v??v?x?vy?c25