??2 B?0,vB?0，∴对于B点：∵y?3????C??0，∴y??0,vC2 对于C点：∵C (此处取正值表示A、B、C点位相超前于O点的位相)
-1
6.11 一列平面余弦波沿x轴正向传播，波速为5m2s，波长为2m，原点处质点的振动曲线
?B?如题6.11图所示． (1)写出波动方程；
(2)作出t=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线．
y?0,v0?0，∴
解: (1)由题6.11(a)图知，A?0.1m，且t?0时，0又
?0?3?2，
??u??5?2.52Hz，则??2???5?
题6.11图(a)
xy?Acos[?(t?)??0]u取 ，
则波动方程为
y?0.1cos[5?(t?(2) t?0时的波形如题6.11(b)图
x3??)]52m
题6.11图(b) 题6.11图(c) 将x?0.5m代入波动方程，得该点处的振动方程为
y?0.1cos(5?t?如题6.11(c)图所示．
6.12 如题6.12图所示，已知t=0时和t=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b) ，波沿x轴正向传播，试根据图中绘出的条件求： (1)波动方程； (2)P点的振动方程．
5??0.53??)?0.1cos(5?t??)0.52m
t?0时，y0?0,v0?0，解: (1)由题6.12图可知，A?0.1m，??4m，又，∴u?而
故波动方程为
?0??2，
?x1u2??2????0.5m?s?1，?t0.5?4Hz，∴??2????
x?y?0.1cos[?(t?)?]22m
36
(2)将xP?1m代入上式，即得P点振动方程为
y?0.1cos[(?t??2??2)]?0.1cos?t m
题6.12图
-1
6.13 一列机械波沿x轴正向传播，t=0时的波形如题5-13图所示，已知波速为10 m2s ，波长为2m，求： (1)波动方程；
(2) P点的振动方程及振动曲线； (3) P点的坐标；
(4) P点回到平衡位置所需的最短时间． 解: 由题6.13图可知A?0.1m，t?0时，
y0?A?,v0?0?0?23，，∴由题知??2m，
10?5u?10m?s?1，则?2Hz
∴ ??2???10?
??u?(1)波动方程为
y?01.cos[10?(t?x?)?]103m
题6.13图
(2)由图知，t?0时，
负值)
yP??A?4?,vP?0?P?23(P点的位相应落后于0点，故取，∴
4yp?0.1cos(10?t??)3 ∴P点振动方程为
x?410?(t?)?|t?0???1033 (3)∵
5x??1.673m ∴解得
(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题6.13图(a)，则由P点回到平衡位置应经历的位
相角
37
题6.13图(a)
∴所属最短时间为
????3??5??26
?t?????5?/61?10?12s
6.14 如题6.14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为
yP=Acos(?t??0)．
(1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程； (2)写出距P点距离为b的Q点的振动方程．
解: (1)如题5-14图(a)，则波动方程为
y?Acos[?(t?如图(b)，则波动方程为
lx?)??0]uu
题6.14图
xy?Acos[?(t?)??0]u
(2) 如题6.14图(a)，则Q点的振动方程为
bAQ?Acos[?(t?)??0]u
如题6.14图(b)，则Q点的振动方程为
bAQ?Acos[?(t?)??0]u
6.15 已知平面简谐波的波动方程为y?Acos?(4t?2x)(SI)．
(1)写出t=4.2 s时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何时通过原点?
(2)画出t=4.2 s时的波形曲线． 解:(1)波峰位置坐标应满足
?(4t?2x)?2k? 解得 x?(k?8.4) m (k?0,?1,?2,…) 所以离原点最近的波峰位置为?0.4m． ∵
4?t?2?t??t??xu 故知u?2m?s?1,
38
?0.4?0.22s，这就是说该波峰在0.2s前通过原点，那么从计时时刻算起，则应∴
是4.2?0.2?4s，即该波峰是在4s时通过原点的．
?t??
题6.15图
?1(2)∵??4?,u?2m?s，∴
?m，又x?0处，t?4.2s时，
?0?4.2?4??16.8?
y0?Acos4??4.2??0.8A
??uT?u2??1??17?，则应有
又，当y??A时，x 16.8??2?x?17? 解得 x?0.1m，故t?4.2s时的波形图如题5-15图所示
6.16题6.16图中(a)表示t=0时刻的波形图，(b)表示原点(x=0)处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出x=2m处质元的振动曲线． 解: 由题6.16(b)图所示振动曲线可知T?2故知
s,A?0.2m，且t?0时，y0?0,v0?0，
2,再结合题6.16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿x轴负向传播，
txy?Acos[2?(?)??0]T?且??4m，若取
?0???题6.16图
则波动方程为
tx?y?0.2cos[2?(?)?]242
6.17 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.0310J2m2s，
-1
频率为300 Hz，波速为300m2s，求 ： (1)波的平均能量密度和最大能量密度? (2)两个相邻同相面之间有多少波的能量? 解: (1)∵ I?wu
-3-2-1
I10?3w??18.0??6?10?5J?m?3 u300∴
wmax?2w?1.2?10?4 J?m?3
11uW??V?w?d2??w?d244? (2)
39
?6.18 如题6.18图所示，S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距4，S1较S2位相超?前2，求：
(1) S1外侧各点的合振幅和强度；
(2) S2外侧各点的合振幅和强度
解：（1）在S1外侧，距离S1为r1的点，S1S2传到该P点引起的位相差为
1300?6?10?5???(0.14)2??9.24?10?7J 43002????r?(r?)???112??4??
2A?A1?A1?0,I?A?0
（2）在S2外侧.距离S2为r1的点，S1S2传到该点引起的位相差.
????2?4
22A?A1?A1?2A1,I?A?4A1
6.19 如题6.19图所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，它在B点的振动方程为
??????2?(r2???r2)?0y1?2?10?3cos2?t;C点发出的平面横波沿CP方向传播，它在C点的振动方程为
速u=0.2m2s，求：
(1)两波传到P点时的位相差；
-1
y2?2?10?3cos(2?t??)，本题中y以m计，t以s计．设BP＝0.4m，CP＝0.5 m，波
(2)当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅；
*(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，P处合振动的振幅． 解: (1)
???(?2??1)?2??(CP?BP)
(CP?BP)u 2????(0.5?0.4)?00.2
????
题6.19图
(2)P点是相长干涉，且振动方向相同，所以
AP?A1?A2?4?10?3m
(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0，这时合振动轨迹是通过Ⅱ，Ⅳ象限的直线，
所以合振幅为
2A12?A2?2A1?22?10?3?2.83?10?3m x6.20 一平面简谐波沿轴正向传播，如题6.20图所示．已知振幅为A，频率为?波速为u．
(1)若t=0时，原点O处质元正好由平衡位置向位移正方向运动，写出此波的波动方程；
A?40