?Ek?Ek?mc2?m0c2?m0c2(??1)?m0c2(1211?vc22?1)
?9.1?10?31?(3?108)2(1?0.1?4.12?10?16J=2.57?103eV
11??1)
(2)
??Ek?Ek?(m2c2?m0c2)?(m1c2?m0c2)?Ek21?m2c2?m1c2?m0c2(vc1222
vc) 1?9.1?10?31?32?1016(?)221?0.91?0.8
?5.14?10?14J?3.21?105eV
1?4.13 ?子静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命0=2310s，若它在实验
-6
室参考系中的平均寿命?= 7310s，试问其质量是电子静止质量的多少倍?
-6
?1212)?解: 设?子静止质量为m0，相对实验室参考系的速度为v??c，相应质量为m，电子静
m止质量为0e，因
???01??2,即11??2m0??7??02?
由质速关系，在实验室参考系中质量为：
1??21??2
m2077??207??725m21??2故 0e
4.14 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几? 解: 设静止质量为
m?207m0em0，运动质量为m，
m?m0?0.10由题设 m0
m?m01??2
21由此二式得 1??∴ 在运动方向上的长度和静长分别为l和
?1?0.10
1??2?11.10
l0，则相对收缩量为：
?ll0
?l0?l1?1?1??2?1??0.091?9.1%l01.10
26
4.15 氢原子的同位素氘(1H)和氚(1H)在高温条件下发生聚变反应，产生氦(2He)原子核和
12一个中子(0n)，并释放出大量能量，其反应方程为12343H + 1H
-27
421He + 0n
止质量为2.0135原子质量单位(1原子质量单位＝1.600310kg)，氚核和氦核及中子的质
量分别为3.0155，4.0015，1.00865原子质量单位．求上述聚变反应释放出来的能量． 解: 反应前总质量为2.0135?3.0155?5.0290反应后总质量为4.0015?1.0087?5.0102amu
amu
质量亏损 ?m?5.0290?5.0102?0.0188amu
?3.12?10?29kg
?2.81?10?21J?1.75?107eV
2?298由质能关系得?E??mc?3.12?10??3?10?
2
习题五
5.3 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动；
(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)．
题4-1图
解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用
d2?2????0 2dt描述时，其所作的运动就是谐振动．
(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力．
(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为?mgsin?，如题4-1图(b)所
?S→0，所以回复力为?mg?.式中负号，表示回复R力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O?为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，
示．题 中所述，?S＜＜R，故??在凹槽切线方向上有
d2?mR2??mg?
dt2令??g，则有 R27
d2?2???0 2dt5.7 质量为10?10?3按x?0.1cos(8??kg的小球与轻弹簧组成的系统，
2?)3(SI)的规律
作谐振动，求：
(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)t2?5s与t1?1s两个时刻的位相差；
解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：
2?1A?0.1m,??8?,?T??s,?0?2?/3
?4又 vm??A?0.8?m?s?1 ?2.51m?s?1
am??2A?63.2m?s?2
(2) Fm?am?0.63N
12mvm?3.16?10?2J 21Ep?Ek?E?1.58?10?2J
2E?当Ek?Ep时，有E?2Ep，
12112kx??(kA) 22222∴ x??A??m
220 (3) ????(t2?t1)?8?(5?1)?32?
5.8 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t?0时质点的状态分别是：
(1)x0??A；
即
(2)过平衡位置向正向运动；
A处向负向运动； 2A(4)过x??处向正向运动．
2(3)过x?试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 ??x0?Acos?0
?v0???Asin?0x?Acos(2?t??) T2?3x?Acos(t??)
T22??x?Acos(t?)
T328
将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
?1???2???3??332
2?5t??) T45.9 一质量为10?10?3kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm．求：
(1)t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； (3)在x?12cm处物体的总能量．
解：由题已知 A?24?10?2m,T?4.0s
2??0.5?rad?s?1 ∴ ??T又，t?0时，x0??A,??0?0
?4?5?4x?Acos(故振动方程为
x?24?10?2cos(0.5?t)m
(1)将t?0.5s代入得
x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m
F??ma??m?2x??10?10?()?0.17??4.2?10N2?3?2?3
方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t?0时，?0?0，
A?,且v?0,故?t? 23????2?/?s ∴ t??323t?t时 x0?? (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为
121kA?m?2A2221???10?10?3()2?(0.24)2 22?7.1?10?4J5.10 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm．用这个弹簧和一个质量为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后 ，给予向上的初速度
E?v0?5.0cm?s?1，求振动周期和振动表达式．
解：由题知
m1g1.0?10?3?9.8k???0.2N?m?1 ?2x14.9?10而t?0时，x0??1.0?10?2m,v0?5.0?10?2m?s-1 ( 设向上为正) 又 ??k0.22???5,即T??1.26s m?8?10?329
?2A?x0?(v0?)2?225.0?10?22?(1.0?10)?()
5?2?10?2mv05.0?10?25? tan?0????1,即??0?2x0?1.0?10?545?2∴ x?2?10cos(5t??)m
4
5.11 图为两个谐振动的x?t曲线，试分别写出其谐振动方程．
题5.11图
解：由题5.11图(a)，∵t?0时，x0?0,v0?0,??0?即 ??3?,又,A?10cm,T?2s 22???Trad?s?1
3?)m 2A5?由题5.11图(b)∵t?0时，x0?,v0?0,??0?
23故 xa?0.1cos(?t?t1?0时，x1?0,v1?0,??1?2???2
又 ?1???1???∴ ??535? 25? 6故 xb?0.1cos(?t?565?)m 35.12 一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子．现有一质量为m的物体从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动． (1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大?
(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程．
MM?m，落下重物后振动周期为2?，即增大． kkmg(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，t?0时，则x0??．碰撞时，以m,M为一系统
k解：(1)空盘的振动周期为2?30