△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边 形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.
48. （本题满分13分）（2009宁德）如图，已知抛物线C1：y?a?x?2??5的顶点为P，与x轴相交于
2A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1． （1）求P点坐标及a的值；（4分）
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）
49. （2009嘉兴）如图，曲线C是函数y?6在第一象限内的图象，抛物线是函数y??x2?2x?4的图xC1 A y M B O P x C1 A y N B Q O P 图图（2） E F x C2 C3 C4 图（图1） 2，?）在曲线C上，且x，y都是整数． 象．点Pn(x,y)（n?1，（1）求出所有的点Pn(x，y)；
（2）在Pn中任取两点作直线，求所有不同直线的条数；
（3）从（2）的所有直线中任取一条直线，求所取直线与抛物线有公共点的概率．
y 6 4 2 O 2 4 6 x 50. （2009益阳）阅读材料：
（第
如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离
叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.
我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S?ABC?的一半.
解答下列问题：
如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式；
1ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积2(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S?CAB； (3)是否存在一点P，使S△PAB=
9S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由. 8y C B
D 1 O
1
A
x
图12-2
51. （2009衡阳）如图12，直线y??x?4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一
点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．
（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？
（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为
a（0?a?4)，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画
出该函数的图象．
y B D M O y B y B C A x O A x O A x 图图图
52. （2009娄底）如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH （HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3
（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.?
（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个
单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B 重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯 形为DEFH′（如图12）.?
探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，
请求出此时t的值；若不能，请说明理由.?
探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠
部分的面积为y，求y与t的函数关系.?? 53. （2009南州）已知二次函数y?x?ax?a?2。
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。
（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式。
2
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为
313，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。 22010年部分省市中考数学试题分类汇编 二次函数
21、（2010年浙江省东阳县）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取43?7）
（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取26?5） 【关键词】二次函数的应用 【答案】（1）y=－
y1(x?6)2?4 12421A MB （2）y=0, x=6+43︽13 （3）设y=
1(x?m)2?2 m=13+26︽18 12OCDx y=0, x=18±26︽23 ∴ 再向前跑10米
121、（2010年宁波市）如图，已知二次函数y??x?bx?c
2的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。 （1）求这个二次函数的解析式
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C， 连结BA、BC，求△ABC的面积。 【关键词】二次函数
y A C O x B 第20题 12【答案】解：（1）把A（2，0）、B（0，－6）代入y??x?bx?c
2??2?2b?c?0得：?
?c??6?b?4解得?
c??6?12∴这个二次函数的解析式为y??x?4x?6
2（2）∵该抛物线对称轴为直线x??412?(?)2?4
∴点C的坐标为（4，0）
∴AC?OC?OA?4?2?2 ∴S?ABC?
a
10．(2010年安徽省芜湖市)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝ 与正比例函数y
x
＝（b＋c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（） A． B． C． D．
11?AC?OB??2?6?6 22
【关键词】二次函数、一次函数、反比例函数图像的性质
【答案】B
20．(2010年安徽省芜湖市)（本小题满分8分）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积． 解：
【关键词】二次函数的应用
【解】根据题意可得：等腰直角三角形的直角边为2xcm，矩形的一边长为2xcm．其相邻边长为
20?(4?22)x?10?(2?2)x．．．．．．．．．2分
2该金属框围成的面积S?2x?10?(2??2)x??1?2x?2x=?(3?22)x2?20x 2（0?x?10?52）【此处未注明x的取值范围不扣分】．．．．．．．．．．．．4分
当x?103?22?30?202时, 金属框围成的面积最大，此时矩形的一边是2x?60?202（m）,
相邻边长为10?(2?2)?10(3?22)?102?10(m) ．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∴S最大?100(3-22)(m)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 答：（略）
8(2010年浙江省金华). 已知抛物线y?ax2?bx?c的开口向下,顶点坐标为（2，－3） ,那么该抛物线有（ ）
A. 最小值 －3 B. 最大值－3 C. 最小值2 【关键词】二次函数、最大值问题 【答案】B
15. (2010年浙江省金华)若二次函数y??x2?2x?k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
?x?2x?k?0的一个解x1?3，另一个解x2? ；
22D. 最大值2
y 【关键词】二次函数、对称轴、交点坐标 【答案】-1
20(2010年浙江省金华)．(本题8分)
(第15题图)
O 1 3 x 已知二次函数y=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）． （1）求二次函数的解析式；
（2）填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移 ▲ 个单位．
【关键词】二次函数、二元一次方程组、根的判别式
?4a?2b?3??3?4a?2b?0?a?1【答案】(1)由已知，有?，即?，解得?
b??2a?b?3?0a?b?3???∴所求的二次函数的解析式为y?x2?2x?3. (2) 4
10．（2010年浙江台州市）如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线y?a(x?m)?n的顶
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