A(?1，0)．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断
PMPN?BEAD是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP ，FG分别与边．AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断立，请说明理由．
PAEF是否成立．若成立，请给出证明；若不成?PBEG y E M A O D P N B x
C 第24题图
解：(1)设抛物线的解析式为y?a(x?1)2?3 ............................................................ 1分 将A(－1，0)代入: 0?a(?1?1)2?3 ∴ a?3 .......................................... 2分 43339∴ 抛物线的解析式为y?(x?1)2?3，即：y?x2?x? ............................ 3分
4424（2）是定值，
PMPN??1 ..................................................................................... 4分 BEAD∵ AB为直径，∴ ∠AEB=90°，∵ PM⊥AE，∴ PM∥BE ∴ △APM∽△ABE，∴ 同理:
PMAP ① ?BEABPNPB ② ............................................................................................. 5分 ?ADABPMPNAPPB????1 ........................................................................... 6分 BEADABAB（3）∵ 直线EC为抛物线对称轴，∴ EC垂直平分AB
∴ EA=EB ∵ ∠AEB=90°
∴ △AEB为等腰直角三角形． ∴ ∠EAB=∠EBA=45° ....................... 7分 如图，过点P作PH⊥BE于H，
由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形，
① + ②:
∴PH=ME且PH∥ME 在△APM和△PBH中 ∵∠AMP=∠PHB=90°， ∠EAB=∠BPH=45° ∴ PH=BH
且△APM∽△PBH ∴ ∴
PAPM ?PBBHPAPMPM ① ..................... 8分 ??PBPHME在△MEP和△EGF中，
∵ PE⊥FG， ∴ ∠FGE+∠SEG=90° ∵∠MEP+∠SEG=90° ∴ ∠FGE=∠MEP ∵ ∠PME=∠FEG=90° ∴△MEP∽△EGF ∴
PMEF ② ?MEEG由①、②知：
PAEF ............................................................................................. 9分 ?PBEG（本题若按分类证明，只要合理，可给满分）
2、（2008 绍兴）定义?p，q?为一次函数y?px?q的特征数． （1）若特征数是?2，k?2?的一次函数为正比例函数，求k的值；
（2）设点A，B分别为抛物线y?(x?m)(x?2)与x，y轴的交点，其中m?0，且△OAB的面积为4，
O为原点，求图象过A，B两点的一次函数的特征数．
解：（1）?特征数为[2，k?2]的一次函数为y?2x?k?2，
?k?2?0， ?k?2．
（2）?抛物线与x轴的交点为A，，0)A2(2，0)， 1(?m?2m)． 与y轴的交点为B(0，121若S△OBA2?4，则?2?2m?4，m?2．
2?当m?2时，满足题设条件．
若S△OBA1?4，则?m?2m?4，m?2；
?此时抛物线为y?(x?2)(x?2)．
0)(20)， 它与x轴的交点为(?2，，，?4)， 与y轴的交点为(0，?一次函数为y??2x?4或y?2x?4，
?4]． ?4]或[2，?特征数为[?2，
?)在第 象限． （2008青海）10．二次函数y?ax2?bx?c图象如图所示，则点A(b?4ac，答案：四
y 2baO x 第10题图
（2008青海）28．王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
（1）求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式； （3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？ （学习收益总量?解题的学习收益量?回顾反思的学习收益量）
y y A 4 25 O O 2 x 5 15 x 图甲 图乙
第28题图
答案：解：（1）设y?kx，
4)代入，得k?2． 把(2，?y?2x． ····················································································································· （1分）
自变量x的取值范围是：0≤x≤30． ········································································ （2分）
（2）当0≤x≤5时，
设y?a(x?5)2?25， ·································································································· （3分）
0)代入，得25a?25?0，a??1． 把(0，············································································ （5分） ?y??(x?5)2?25??x2?10x． ·当5≤x≤15时，
y?25 ····························································································································· （6分）
??x2?10x(0≤x≤5)即y??．
?25(5≤x≤15)（3）设王亮用于回顾反思的时间为x(0≤x≤15)分钟，学习效益总量为Z， 则他用于解题的时间为(30?x)分钟． 当0≤x≤5时，
································ （7分） Z??x2?10x?2(30?x)??x2?8x?60??(x?4)2?76． ·
·························································································· （8分） ?当x?4时，Z最大?76． 当5≤x≤15时，
Z?25?2(30?x)??2x?85． ·················································································· （9分） ?Z随x的增大而减小，
?当x?5时，Z最大?75．
综合所述，当x?4时，Z最大?76，此时30?x?26． ········································· （10分） 即王亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时，学习收益总量最大．
······································································································································· （11分） 注：以上各题用不同于本参考答案的解法做正确的相应给分．
（2008赤峰）25.在平面直角坐标系中给定以下五个点A(?3，， 0)B(?1，，4)C(0，，3)D?，?，E(1，0)．（1）请从五点中任选三点，求一条以平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出草图； （3）已知点F??1，?在抛物线的对称轴上，直线y??17??24???15?4?17?17?过点G??1，?且垂直于对称轴．验证：以44??E(1，0)为圆心，EF为半径的圆与直线y?DF为半径的圆也与直线y?17?17?相切．请你进一步验证，以抛物线上的点D?，?为圆心4?24?17相切．由此你能猜想到怎样的结论． 4y G F 解：（1）设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c，
0)C(0，，3)E(1，0)， 且过点A(?3，，由(0，3)在y?ax2?bx?cH ．
则c?3． ························································································································ （2分） 得方程组??9a?3b?3?0，
a?b?c?0?F 2y M N Q ，b??2． 解得a??1·························（4分） ?抛物线的解析式为y??x?2x?3
（2）由y??x2?2x?3??(x?1)2?4 ·····················（6分）
，4)，对称轴为x??1． ·得顶点坐标为(?1·················（8分）
（3）①连结EF，过点E作直线y?则EN?HG?H O x 17的垂线，垂足为N， 417． 415， 4在Rt△FHE中，HE?2，HF??EF?HE2?HF2??EF?EN，
17， 417相切． ······································ （10分） 4?以E点为圆心，EF为半径的?E与直线y?②连结DF过点D作直线y?17的垂线，垂足为M．过点D作DQ?GH垂足为Q， 4177105???． 则DM?QG?444231578???2． 在Rt△FQD中，QD?，QF?24445FD?QF2?QD2?．
217········································ （12分） ?以D点为圆心DF为半径的?D与直线y?相切． ·
417③以抛物线上任意一点P为圆心，以PF为半径的圆与直线y?相切． （14分）
4(2008宁夏)23.已知二次函数y?x?2x?1． （1） 求此二次函数的图象与x轴的交点坐标．
（2）二次函数y?x的图象如图所示，将y?x的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数
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