（2008徐州）已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5） ①求该函数的关系式；
②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′， 求△O A′B′的面积.
答案：（1）y??x2?2x?3 （2）（0，3），（－3，0），（1，0） （3）略
（2008苏州）如图，抛物线y?a(x?1)(x?5)与x轴的交点为M，N．直线y?kx?b与x轴交于
P(?2，0)，与y轴交于C．若A，B两点在直线y?kx?b上，且AO?BO?2，AO?BO．D为线
段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．
（1）OH的长度等于 ；k? ，b? ．
（2）是否存在实数a，使得抛物线y?a(x?1)(x?5)上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与
△AOB相似？
若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点（简要说明理由）；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB?PG?102，写出探索过程．
y P A C H M O B D （第29题） N x 解：（1）OH?1；k?323，b?． 33（2）设存在实数a，使抛物线y?a(x?1)(x?5)上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似．
?以D，N，E为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形． ①若DN为等腰直角三角形的直角边，则ED?DN．
，0)，N(5，0)． 由抛物线y?a(x?1)(x?5)得：M(?1?D(2，0)，?ED?DN?3．?E的坐标为(2，3)． 3)代入抛物线解析式，得a??． 把E(2，13y A C H B 1?抛物线解析式为y??(x?1)(x?5)．
31245即y??x?x?．
333②若DN为等腰直角三角形的斜边，
则DE?EN，DE?EN．
?E的坐标为(3.51.5)，．
，代入抛物线解析式，得a??把E(3.51.5)2． 922810?抛物线解析式为y??(x?1)(x?5)，即y??x2?x?
9999112453)满足条件，如果此抛物线上还有满足条件当a??时，在抛物线y??x?x?上存在一点E(2，3333，，的E点，不妨设为E?点，那么只有可能△DE?N是以DN为斜边的等腰直角三角形，由此得E?(3.51.5)显然E?不在抛物线y??点．
1245145x?x?上，因此抛物线y??x2?x?上没有符合条件的其他的E333333222810时，同理可得抛物线y??x?x?上没有符合条件的其他的E点． 99991453)，对应的抛物线解析式为y??x2?x?时， 当E的坐标为(2，333当a???△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，??GNP??PBO?45?．
又??NPG??BPO，?△NPG∽△BPO．
?PGPN?，?PB?PG?PO?PN?2?7?14，?总满足PB?PG?102． POPB2810，，对应的抛物线解析式为y??x2?x?时， 当E的坐标为(3.51.5)999同理可证得：PB?PG?PO?PN?2?7?14，?总满足PB?PG?102． （2008 沈阳市）7．二次函数y?2(x?1)?3的图象的顶点坐标是（ ）
2，3) A．(1
，3) B．(?1
，?3) C．(1，?3) D．(?1答案：A
（2008 沈阳市）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在
?y轴的正半轴上，且AB?1，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD．点OB?3，A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y?ax2?bx?c过点
A，E，D．
（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；
（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解：（1）点E在y轴上 ······························································································· 1分 理由如下：
连接AO，如图所示，在Rt△ABO中，?AB?1，BO?3，?AO?2
F C D O 第26题图
x y E A B 1?sin?AOB?，??AOB?30?
2由题意可知：?AOE?60
???BOE??AOB??AOE?30??60??90?
·················································································· 3分 ?点B在x轴上，?点E在y轴上． ·（2）过点D作DM?x轴于点M
?OD?1，?DOM?30?
?在Rt△DOM中，DM??点D在第一象限，
13，OM? 22?31? ····································································································· 5分 ?点D的坐标为???2，?2??由（1）知EO?AO?2，点E在y轴的正半轴上
2) ?点E的坐标为(0，······································································································ 6分 ?点A的坐标为(?31)， ·
?抛物线y?ax2?bx?c经过点E，
?c?2
由题意，将A(?31)，，D??31?2，代入y?ax?bx?2中得 ??22???8??3a?3b?2?1a???9?? 解得 ?3?31b?2??a??b??53?422?9?853······························································· 9分 x?2 ·?所求抛物线表达式为：y??x2?99（3）存在符合条件的点P，点Q． ··················································································· 10分 理由如下：?矩形ABOC的面积?AB?BO?3 ?以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积为23．
由题意可知OB为此平行四边形一边， 又?OB?3
?OB边上的高为2 ··············································································································· 11分
2) 依题意设点P的坐标为(m，853x?2上 ?点P在抛物线y??x2?99853??m2?m?2?2
99解得，m1?0，m2??53 8?53?P2?，?P(0，2)2?1??8，? ???以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
?PQ∥OB，PQ?OB?3， 2)时， ?当点P1的坐标为(0，点Q的坐标分别为Q1(?3，2)，Q2(3，2)；
A B F C D O M x
y E ?53?2?当点P2的坐标为???8，?时，
??点Q的坐标分别为Q3???133??33?，2Q，2?，． ?4?????8???8?y都经过B2（2008 大连市）21．如图10，直线y?x?m和抛物线y?x?bx?c点A(1，0)，B(3，2)．
⑴求m的值和抛物线的解析式；
OAx⑵求不等式x?bx?c?x?m的解集(直接写出答案)．
答案：
解：（1）∵直线y=x+m经过点A(1,0) ??????????????????1分 ∴0=1+m??????????????????2分
∴m=－1．即m的值为－1??????????????????3分
∵抛物线y=x+bx+c经过点A(1,0),B(3,2)． ??????????????????4分 ∴?22?0?1?b?c，??????????????????6分
?2?9?3b?c.?b??3??????????????????7分
c?2?解得?∴二次函数的解析式为y=x2?3x?2．??????????????????8分
2009年中考试题 二次函数专题
1. (2009杭州) 已知点P（x，y）在函数y?1??x的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的 x2A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. (2009杭州) 有以下三个说法：①坐标的思想是法国数学家笛卡儿首先建立的；②除了平面直角坐标系，
我们也可以用方向和距离来确定物体的位置；③平面直角坐标系内的所有点都属于四个象限。其中错误的是
A.只有① B.只有② C.只有③ D.①②③
3. (2009台州)已知二次函数y?ax2?bx?c的y与x的部分对应值如下表： x y ? ? ?1 0 1 1 3 3 1 ? ? ?3 则下列判断中正确的是（ ▲ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当x＝4时，y＞0 D．方程ax?bx?c?0的正根在3与4之间 4. （2009南州）抛物线的图象如图1所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）．．
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A、y=x2-x-2 B、y=?C、y=?121x??1 22学科网学科网121x?x?1 D、y=?x2?x?2225. (2009南充)抛物线y?a(x?1)(x?3)(a?0)的对称轴是直线（ ）
图1