第二 章 矩阵 §2.1 矩阵及其运算
教学目的：使学生学习矩阵相关的概念及运算 教学重点：矩阵的概念及运算，几种特殊的矩阵 教学难点：矩阵的的乘法运算，
一、导入
矩阵是从实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，是数学研究中常用的工具，它不仅在数学中的地位十分重要，而且在工程技术各领域中也有着广泛的应用。矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。
二、新授
1．定义1：由m?n个数排成的m行n列的表
?a11?a?21????am1a12a22?am2?a1n??a2n?? ?????amn?称为m行n列矩阵（matrix）,简称m?n矩阵。
一般用大写黑体字母表示：记为A、B、C。为了表示行和列，也可简记为Am?n或?aij?m?n矩阵中数aij(i?1,2,?;j?1,2,?)称为矩阵的第i行第j列元素。 注意：
m=n时是方阵，此时矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵。
?b1??b?2n=1 称为列矩阵或列向量 B???。
??????bn?m=1 称为行矩阵或行向量 A??a1,a2,?an?。
定义2 ：如果两个矩阵有相同的行数，相同的列数，并且对应位置上的元素均相等。则称两个矩阵相等。记为A=B。
把有相同行数，相同列数的两个矩阵称为同型矩阵。 例1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
?a11a12a13a?1??a22a23a A??a21? 24??a31a32a33a??34其中aij为工厂向第i店发送第j种产品的数量。
这四种产品的单价及单价重量也可列成矩阵
?b11b?bb21 B???b31b??b41b12??2?2 ?32?4?2其中bi1为第i中产品的单价，bi2为第j种产品单价重量。 2．特殊形式矩阵：
（1） n阶方阵：在矩阵A?(aij)m?n中，当m?n时，A称为n阶方阵 （2）行矩阵：只有一行的矩阵A??a1a2?an?叫做行矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
??b1?B??b?2?? 叫做列矩阵???
?b?m?（3）零矩阵：元素都是零的矩阵称作零矩阵
3．相等矩阵：对应位置上的元素相等的矩阵称作零矩阵 4．常用特殊矩阵：
???10?0??0（1）对角矩阵： ?0?2?0????0???????? （2）数量矩阵： ??00???????n??00??10?0?（3）单位矩阵：E??01?0??? ???????00?1????a11a12?a1n?（4）三角矩阵：A??0a22?a?2n???????? ?00?a?mn???a110?0?称作上三角矩阵， A??a21a22?0????????? 称作下三角矩阵。 ?am1am2?a?mn?5.矩阵的运算
一、 矩阵的加法：
定义3：A+ B=（aij）m?n+（bij）m?n= （aij+ bij）m?n
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0?0????????? ???a11?b11a12?b12?a1n?b1n??a?b?a?b?a?b212122222n2n? =?
???????a?ba?b?a?bm2m2mnmn??m1m1两个同型（m行）、同列（n列）的矩阵相加等于对应位置上的元素相加（行与列不变） 由于矩阵加法归结为对应位置元素相加，故矩阵加法满足如下运算律 1、 交换律A+ B= B+ A
2、 结合律（A+ B）+C= A+ (B+C) 3、 有零元A+0=A
4、 有负元A+(-A)=0 A?B?A?(?B) 二、 数与矩阵的乘法
定义4、给定矩阵A=（aij）m?n及数k,则称（kaij）m?n为数k与矩阵A的乘积。即kA=
?ka11ka12?ka1n??ka?ka?ka21222n? kaij=????????kaka?kam2mn??m1
由定义可知 –A=(-1)?A
A – B = A+(-B)
数与矩阵的乘法满足下列运算律（设A，B，为m?n矩阵，?，?为数）：
（a）(??)A??(?A) （b）(???)A??A??A （c）?(A?B)??A??B
例1 设
02??3?12??3 A?? ，求3A?2B。 B?????041???3?40??3?13A?2B?3??04?9?3解： ???0122?02??3?2??3?40?1????6??604? ????3???6?80??3?32?????6203?三、矩阵的乘法
(1) 定义5：设两个矩阵A?(aij)m?s，B?(bij)s?n，则矩阵A与矩阵B的乘积记为C?AB，规定C?(cij)m?n，其中
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cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsj??aikbkj(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n.)
k?1s(2) 矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：
(a) 结合律：(AB)C?A(BC)； （b）分配律：（c）设k是数，k(AB)?(kA)B?A(kB)。
(A?B)C?AC?BC；
C(A?B)?CA?CB?11??1?1???11?例2设 A???， B???11?， C??1?1? ?1?1??????求AB，BA与AC。
2??11??1?1??00??1?1??11??2解：AB??; ?BA???????????????1?1???11??00???11???1?1???2?2??11???11??00?AC????1?1???00? ?1?1??????从例题中我们可以得出下面的结论：
（i）矩阵的乘法不满足交换律。即一般地说，AB?BA。
（ii）两个非零矩阵的乘积可能等于零。一般说来，AB?0不能推出A?0或B?0。 （iii）矩阵乘法中消去律不成立。即AB?AC，且A?0，不能推出B?C (3) 设A是一个n阶方阵， 定义：A0?E, Ak??AA?A（k是正整数）称Ak为A的k次方幂。 ????k个A由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律：
Ak?Al?Ak?l； (Ak)l?Akl，
其中k，l为正整数。又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个n阶方阵A与B，一般说来，(AB)k?AkBk。
设f(x)?a0xm?a1xm?1???am?1x?am是x的一个多项式，A为任意方阵，则称
f(A)?a0Am?a1Am?1???am?1A?amE 为矩阵A的多项式 四、矩阵的转置 1．定义：设
?a11?aA??21????am1a12a22?am2?a1n??a11?a?a2n?? 则矩阵 ?12????????amn??a1na21?am1?a22?am2?? 称为A的转置矩阵 ?????a2n?amn?2．矩阵的转置是一种运算，它满足下列运算律（假设运算都是可行的）： （1）(AT)T?A （2）(A?B)T?AT?BT （3）(kA)T?kAT （k是数） （4）(AB)T?BTAT
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例3 设BT=B, 证明(ABAT)T=ABAT
证明：因为BT=B， 所以 (ABAT)T=[（AB）AT]T=(AT)T(AB)T=ABTAT=ABAT
3．定义：设A为n阶方阵，如果AT?A，即有aij?aji (i,j?1,2,?,n)则称A为对称矩阵。如果AT??A，即有aij??aji，aii?0(i,j?1,2,?,n)，则说A为反对称矩阵。
五、 方阵的行列式 1．定义6：由n阶方阵A所有元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为n阶方阵A的行列式(determinant of a matrix A)，记作|A| 或 detA。
2．n阶行列式的运算满足下列运算律（设A，B为n阶方阵，k为数）：
（1）|AT|?|A|；（2）|kA|?kn|A|；（3）|AB|?|A||B|。
3. 小结：
本节介绍了矩阵的概念和矩阵的特殊形式和特殊矩阵以及矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的运算，这些运算在矩阵理论中占有重要地位，特别是乘法运算，要熟练掌握这些运算。
§2.2 逆矩阵
教学目的：会判断矩阵的可逆性，矩阵可逆的条件 教学重点：1．可逆性判定；2. 矩阵可逆的条件 教学难点：求逆矩阵
一、导入
求逆矩阵是矩阵的一种重要运算，它在矩阵的应用中起到重要的作用。 二、新授 逆矩阵的概念
1．定义：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使
AB?BA?E
则称A是可逆矩阵。并称B为A的逆矩阵，记为A?1，即B?A?1。
如果矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。事实上，设B1，B2都是A的可逆矩阵，则有 AB1?B1A?E AB2?B2A?E， 于是 B1?B1E?B1(AB2)?(B1A)B2?EB2?B2。
2．定义：设A为阶方阵，若|A|?0，则称A是非奇异的（或非退化）的，否则称A是奇异的（或退化的）。
?a11?a213．定义：设A??????an1a12a22?an2?a1n??a2n?? ，令A为|A|中元素a的代数余子式，则称方阵
ijij?????ann? 5