ij?1????列列????1??00?01i行????01?00??E(i,j)???????? 。
??00?10??10?00j行????1???????1??2．以k≠0乘矩阵某行或某列 记为
i?1????列????1??E(i(k))??ki行?, 其中 k?0。
??1??????1???3．以数k乘矩阵某行（列）加到另一行（列）上去 记为
ij?1???列?列???1ki行???E(ri?krj)?E(cj?kci)????,
?1j行???????1???初等矩阵有如下性质：
性质1 初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也是同类初等矩阵，
1E -1(i,j)?E(i,j)；E -1(i(k))?E(i())；E -1(ri?krj)?E(ri?krj)
k性质2 初等矩阵的转置仍是同类初等矩阵，
E T(i,j)?E(i,j)；E T(i(k))?E(i(k))；E T(ri?krj)?E(rj?kri)
性质3 对m?n矩阵A施行一次行初等变换相当于在A的左边乘一个同类m阶初等矩阵；而施行一次列初等列变换相当于在A的右边乘一个同类n阶初等矩阵。 初等矩阵的这个性质为计算逆矩阵提供了一个方法，讨论如下。
设A是n阶可逆矩阵，由上节定理2（一个非奇异矩阵A，可以经过有限次初等行变换变成单位阵）则A可经过有限次初等行变换变成单位阵，即存在一批初等矩阵P1、P2、?、Ps ，使得
Ps ? P2 P1 A = E ，所以 Ps ? P2 P1 = A-1 ，
11
这样，如果把将A化成E过程中的每个初等阵Pi都记载下来，就可得到A的逆矩阵 A-1 = Ps ? P2 P1 ，可以想象这样做也很麻烦。 采用对比的方法：
Ps ? P2 P1 A = E ， Ps ? P2 P1 E = A-1 ，
就是说，对A做什么样的初等行变换，就对E做什么样的初等行变换，而不必记载中间的初等变换的具体结果，直至将A化成E 。
再考虑到分块矩阵的乘积，有
Ps ? P2 P1（ A | E）=（Ps ? P2 P1 A | Ps ? P2 P1E ）=（E | A-1） 用初等变换表示上面的过程，就是
（ A | E）→（P1 A | P1E ）→（P2 P1 A | P2 P1E ）→ ? → （Ps ? P2 P1 A | Ps ? P2 P1E ）=（E | A-1）。 这就是用初等变换求逆矩阵的方法。
?23?例3 用初等变换法求矩阵A??的逆矩阵。 ??12??0?21??的逆矩阵。 38?2例4 用初等变换法求矩阵A??????130??
§3.2 矩阵的秩
教学目的：理解矩阵秩的概念并求解矩阵的秩 教学重点：矩阵秩的求解 教学难点：矩阵秩的求解
定义3 在m×n矩阵A中，任取k（k ≤ min{m，n}）行、k列，位于这些行列交叉处的元素，不改变顺序组成一个k阶行列式，称此行列式为矩阵A的一个k阶子式。
kk一般地说，矩阵A的一个k阶子式不止一个，可以计算它共有Cm个k阶子式。 Cn?a11?例如，A??a21??a31a12a22a32a13a23a33a14?a12a24?，?a22a34??a13a12是它的一个二阶子式，a23a22a14a24是它的另一个二
22阶子式，它共有C3C4?18个二阶子式。
a11a21a31a13a23a33a1433a24是它的一个三阶子式，共有C3C4?4个三阶子式。 a3411a12是它的一个一阶子式，它共有C3C4?12个一阶子式,它无四阶和四阶以上子式。
定义4 设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式，而所有的r + 1阶（如果存在）子式均为零，则r称矩阵A的秩。记做R（A）= r 。
利用定义计算一般矩阵的秩可能需要较大的计算量，不是一个好方法。因此只能计算特殊的矩阵，如阶梯形矩阵的秩。如阶梯形矩阵的秩。如
12
?2?0A???0??01?131000018104?0??，有R（A）= 3 。 2??0???????????????????????????????????42分钟 定理4 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
定理4给出求一般矩阵秩的方法，就是用初等变换将一般的矩阵化为阶梯形矩阵。
050??32?3?23?6?1?的秩。 例5 求矩阵A???2015?3???16?4?14??矩阵秩的基本性质：设A是m×n矩阵，
（1）0 ≤ R（A）≤ min{m，n}；
（2）R（AT）= R（A）；
（3）若A←→B，则R（B）= R（A）。 （4）若P、Q可逆，则R（PAQ）= R（A）。 。
§3.3 线性方程组的解
教学目的：使学生了解和掌握线性方程组的解的基本概念以及利用高斯消元法解线性方程组 教学重点：利用高斯消元法解线性方程组 教学难点：高斯消元法
一、导入
在工程技术领域中,有许多问题的讨论往往在最后归结为求解线性方程组,因此研究一般的线性方程组在什么条件下有解,以及在有解时如何求出它全部的解，总是工程技术中提出的需要解决的一个十分重要问题,而研究一般的线性方程组的求解问题,正是线性代数的主要内容之一.在这章里我们将借助矩阵这个工具对一般线性方程组的相容性问题及解的结构问题进行讨论，介绍向量的概念、性质及方程组解的向量表示。 二、新授
（一）非齐次线性方程组和齐次线性方程组. 一般的线性方程组是指形如
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 (3.1) ????????????????am1x1?am2x2???amnxn?bm的线性方程组.若记
?a11?aA??21????am1
a12a22?am2?a1n??b1??x1??b??x??a2n?2?,X???,B??2? ???????????????amn??bm??xn?13
则方程组(3.1)可写成矩阵形式 AX=B 。
当B≠0时称为非齐次线性方程组,当B=0时即AX=0称为齐次线性方程组.
(二) 高斯消元法
定理3.1: 若将线性方程组AX=B的增广矩阵A??AB?用初等变换化为?UV?,则AX=B与UX=V是同解方程组.
证明:由于对矩阵施行一次初等行变换等价于矩阵左乘一个初等矩阵,因此存在初等矩阵
B???UV?, PkPk?1?P1?A1,P2,?,Pk,使得 P记PkPk?1?P1?P,由初等矩阵的可逆性知P可逆.若设X1为AX=B的解,即AX1=B,两边同时左乘矩阵P,有 PAX1=PB (PA)X1=PB 即 UX1=V 于是X1是方程组UX=V的解.反之,若X2为UX=V的解,即UX2=V
两边同时左乘矩阵P-1，得 P -1UX2=P -1V （P -1U）X2=P -1V 即AX2=B X 2亦为AX=B的解。
综上所述，AX=B与UX=V的解相同，称之为同解方程组。 证毕。 2、高斯消元法：
由矩阵的理论可知，我们应用矩阵的初等变换可以把线性方程组（3.1）的增广矩阵A化为阶梯形矩阵(或简化阶梯形矩阵),根据定理3.1可知阶梯形矩阵(或简化阶梯形矩阵)所对应的方程组与原方程组(3.1)同解,这样通过解阶梯形矩阵(或简化阶梯形矩阵)所对应的方程组就求出原方程组(3.1)的解,这种方法称为高斯消元法.
?x1?x2?x3?x4?0?例1解线性方程组?2x1?x2?3x3?2x4??1
?3x?2x?x?2x?4234?1解:将方程组的增广矩阵用初等变换化为标准形
1?10??1?11?10?r?2r?1?121??r??0?3?3r1A??2?13?2?1??110?1??????24?1?454??3?2?1??0?1?10??1?1?1?11?r3????053?r2?r????0110?1??1?????55??00?5??001??1?100?100r1?r3??r??0102?r31?r2?r????01010????????001?1?1???0011?10?10?1?? 1?1?1??11?10???1?1??这时矩阵所对应的方程组为
?x1?????x4x2x3?x4?x4?1?0 ??1?x1?1?x4?将x4移到等号右端得 ?x2?0?x4
?x??1?x4?3
14
?x1?1?t?x?0?t?2 若令x4取任意常数t,则得 ? , (3.2)
x??1?t?3??x4?t?x1??1???1??x??0???1?2即 ??????t??
?x3???1??1????????x4??0??1? 其中x4称为自由未知量(或自由元),(3.2)式称为方程组的一般解或通解.
例2求线性方程组的解
?x1?x2?2x3?1?3x?x?2x?3?123 ?
x?2x?x??123?1??2x1?2x2?3x3??5解:
21?21??1?1?1?1?1?121?r2?3r1?3?r3?r1?04?4??0?12301?104?2r1??r????????A??????1?2?0?1?1?2??01?1?112???????2?2?3?500?7?70011??????
11??10?1000??1000?r1?r4?01?10?r2?r4?0101??0101?r1?r23?r23?2r43?r4??r???r???r???????????0022??0000??0011???????001100110000??????根据定理3.1知,矩阵对应的方程组
?x1?0? ?x2?1
?x?1?31r24(?1)r31(?)r47与原方程组同解,因此原方程组有唯一的解.
例3求解线性方程组
?x1?2x2?3x3?2x4?1??3x1?x2?5x3?x4??1 ?2x?x?2x?3x?3234?1
解:
15