有结论成立。
向量X,Y线性相关显然等号成立；反之当等号成立时，由上可得：Y?0或者
X??X,Y?Y?0，∴ 向量X,Y线性相关。
（证毕）
?Y,Y?在几何空间中，利用了向量的内积定义了向量的夹角和长度：
X?Y?XYcos? ，其中?是向量X,Y的夹角。现在没有明确的几何直观。类似的定义向量的长度如下： 定义2 记 X??X,X??22x12?x2??xn 称X为n维向量X的长度或范数。当X?1时称X为单位向量。
向量的范数具有以下性质：
（ⅰ）非负性 X?0，X?0?X?0 （ⅱ）齐次性 ?X??X??R1
（ⅲ）三角不等式 X?Y?X?Y 证明：性质（ⅰ）、（ⅱ）显然
2X?Y（ⅲ）
??X?Y,X?Y???X,X??2?X,Y???Y,Y?（利用了施瓦茨不等式）
2?X2?Y?2?X,X??Y,Y??(X?Y)2并且，由于 ?X,Y??XY ∴
?X,Y?XY?1 （当XY?0时）
?X,Y? 称为n维向量X与Y的夹角。
于是可以定义 ??arccosXY特别的如果?X,Y??0时，显然??90? ，这时把几何空间中向量 垂直的概念加以推广则有下面的概念：
定义3 当?X,Y??0时，称n维向量X与Y正交，显然0向量与任何向量都满足内积为0，
所以规定0向量与任何向量都正交。对一组向量?1,?2??r来说，如果它们是两两正交的，就称?1,?2??r是正交向量组。
对正交向量组有以下性质：
定理1 若n维向量组?1,?2??r是一组两两正交的非零向量，则?1,?2??r线性无关。
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Pr. 设有一组数k1,k2?kr使得
?k?ii?1ri?0
对该等式两端分别用?Tj左乘（即用它作内积）有
TTTk1?T??k????k????j12j2rjrj?0?0
上式中除了?Tj?j??j?0，其它均为0
∴ kj?0 （j?1,2,?r）故?1,?2??r线性无关。 （例P115例1）
既然一组两两正交的非零向量?1,?2??r线性无关，当它们是向量空间的基时，是一组特别的基，给一个特别的名称：
定义4 设向量组?1,?2,??r是向量空间V(V?Rn)的一组基，并且它
们是两两正交的单位向量，就称向量组?1,?2,??r是向量空
间V的一组规范（标准）正交基。
举例解释，尤其是直角坐标系的例子，还有向量在规范正交基下的坐标的例子。 那么，如何从一组基?1,?2??r得到一组规范正交基?1,?2??r呢？下面解决这个问题，这个过程称为施米特(Schimidt)正交化过程。
首先是（1）正交化过程，然后是（2）单位化过程。具体如下： （1） ?1??1 ?2??2???1,?2?? ??1,?1?1???,?????,?? ( ??1,?2????1,?2?12?1????1,?2??12??1,?1??0其它类似可用归纳法证明)
??1,?1????1,?1???3??3?... ... .. ...
??1,?3???,???1?23?2
??1,?1???2,?2???1,?r?????2,?r??????r?1,?r?? ??1,?1?1??2,?2?2??r?1,?r?1?r?1?r??r?可以证明?1,?2??r两两正交。
(2) 再令?i??i （i?1,2,?r）则?1,?2,??r是一组规范正交基。 ?i例题：教材P116-117
当把n个两两正交的n维单位向量排列成为一个矩阵A时显然有ATA?E。对于这种矩阵我们给出一个概念，因为它有着明显的几何意义。
37
定义 5 如果n阶矩阵满足ATA?E，称A为正交矩阵，简称正交阵。
对正交矩阵来说因为ATA?E，所以矩阵A是可逆的，并且有A?1?AT，正交矩阵的几何意义可以从下面分析得到：
定义6 若P为正交矩阵，则线性变换Y?PX称为正交变换。 （其中X,Y是向量）
对正交变换下的向量X,Y进行求长度的运算，可以发现：
Y2??Y,Y???PX,PX??XTPTPX?XTEX?XTX?X
2即，在正交变换之下，向量的长度没有改变，这种变换一般在物理学（力学）中称为刚体变换。
§5.2 方阵的特征值与特征向量 教学目的：理解并掌握特征值、特征向量，掌握特征值、特征向量的求法 教学重点：掌握特征值、特征向量的求法 教学难点：特征值、特征向量的求法
导入 ：在前面的研究中我们看到，矩阵的各种特性（比如对应的行列式、矩阵的秩等）对于解决各种问题都是十分重要的。矩阵还有一个十分重要的特性就是对于方阵来说，它的所谓“特征值”也是十分重要的。本节就来学习相关知识。 新授：
定义7 设A是n阶矩阵，如果数?和n维非零列向量X使关系 AX??X成立，则称数?为矩阵A的特征值，非零列向量X称为A的对应于?的（属
于?的）特征向量。
从特征值以及特征向量的定义可以得到：
? 和向量X满足 (A??E)X?0
并且，由于X是非零列向量，A是n阶矩阵，所以
A??E?0，也就是说?是方程f(?)?A??E?0的根。 因此方程f(?)?A??E?0称为矩阵A的特征方程，所以矩阵的 特征值实际上就是特征方程的根。
而对于某个特征值来说（∵f(?)?A??E?0是关于?的n次多项式 ∴根有可能为重根）
求出方程组(A??E)X?0的基础解系就能够得到所有对应于?的特征向量。 看两个求矩阵的特征值和特征向量的例子（P120-122） 进一步分析矩阵的特征值和特征向量，可见如下特性： （1）根据方程的根与系数的关系有：
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????aii?1ni?1nnii （当考虑复数根时，有n个根）
??i?1i?A
1（2）设? 是方阵A的特征值。则?2是A2的特征值；当A可逆时，
Pr. ∵ AX??X ∴ A2X?A(AX)?A(?X)??(AX)??2X 故 结论成立
又 X??AX ∴ AX??1? 是A?1的特征值。
?11?X 故 结论成立
对于特征值以及特征向量还有一个重要的结论就是：
定理2 设?1,?2,??r是矩阵A的r个互不相同的特征值，?1,?2,??r依次是与之对应的特
征向量，则向量组?1,?2,??r线性无关。
Pr. 考虑?1,?2,??r的线性组合?xi?i?0
i?1r则有 A(?xi?i)?A?0?0
i?1r即
?xA???x??iiiii?1i?1rri?0
再用A左乘有
?x??i2ii?1rri?0，
依此类推可以得到
?x??ikii?1i?0(k?1,2,?r?1)
r?1???1?r?1??2??O
????r?1???r?∴ 有?x1?1x2?2?1?1??1?2?xr?r??????1?r?∵ ?i互不相同，根据范德蒙行列式的结果知道xi?i?0 但?i?0 ∴ xi?0(i?1,2,?r) 故?1,?2,??r线性无关。 例10 见教材P123
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《线性代数》教案
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