?A11?AA*??12????A1nA21A22?A2nAn1??An2?? 为A的伴随矩阵，或记为A*。 ?????Ann??
矩阵可逆的充要条件
A*定理：方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，即|A|?0，并且A?
|A|?1证明：充分性：设
?a11?aA??21????an1a12a22?an2?a1n??A11???a2n? ，A*??A12????????ann??A1nA21?A22?A2nAn1??An2?? ?????Ann?由第一章中定理1.4及推论可知
?a11?a**AA?AA??21????an1a12a22?an2?a1n??A11?A?a2n???12????????ann??A1nA21A22?A2nAn1??|A|????An2?|A|?????|A|E
??????????Ann??|A|??*A*A*A?1A|A|?0又知，所以有 A 。 证毕。 ?A?E 故可逆，且 A?|A||A||A|推论1：若A是可逆矩阵，则A经过若干次初等变换后所得矩阵仍为可逆矩阵。 推论2：若AB?E（或BA?E），则B?A?1。 方阵的逆矩阵满足下面运算律：
（1） 若A可逆，则(A?1)?1?A； （2）若A可逆，数k?0，则(kA)?1?（3）若A，B为同阶可逆矩阵，则(AB)?1?B?1A?1； （4）若A可逆，则(AT)?1?(A?1)T；（5）若A可逆，则|A?1|?逆矩阵的计算方法： 伴随矩阵求逆矩阵
?123???例1求方阵 A??221? 的逆阵。
??343??
6
1?1A； k1?|A|?1 |A|123解：求得 |A|?221?2?0 ，所以A?1存在，又
343A143?2,A??212211?21233??3,A13?34?2A2321??43?6,A131222?33??6,A23??34?2 A331?221??4,A131232??21?5,A33?22??2,?26?4?3?得A*??1?1?352????3?65??? 所以A?1?*?3?22?2??|A|A????2?11?2? 1??
例 用伴随矩阵法求A的逆矩阵
?1?1?1? A????321??
??201??1?1?1解：因为 |A|??321?1?0，所以A可逆。 201A?12111?(?1)1?2A?31?3?32?112?(?1)1?2?5A13?(?1)10??4A21?(?1)2?1012120A1?122?(?1)2?221?3， A2?31?123?(?1)20??2 A3?1?1?131?(?1)21?1，A1?11?132?(?1)3?2?31?2，A33?(?1)3?3?32??1
3. 小结：
本节讲授了逆矩阵的概念、可逆条件和求逆的方法，要求会求逆矩阵。
§2.3 矩阵的分块法 教学目的：会用分块矩阵作加、减、数乘法、转置运算 教学重点：分块矩阵的乘法运算 教学难点：分块矩阵的乘法运算
一、导入
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?11?1对于行数和列数较大的矩阵我们经常会采用一种分块的方法（即将高阶矩阵划分成若干个小块后再进行降阶运算），它是计算高阶矩阵的一种有用的技巧。
二、新授
分块矩阵的概念 设A是一个m?n矩阵，我们将A用若干条横线和纵线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块（或称为A的子矩阵），以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。 分块矩阵的运算
1．分块矩阵的加法：设矩阵A和B是两个同型矩阵，且采用同样的方式进行分块，则分块矩阵A与B相加，只需的把对应子块相加。
2．数与分块矩阵的乘法：数与分块矩阵相乘等于用这个数乘每一个子块。
?A11A12?A1s??kA11kA12?kA1s??A??kA?A?AkA?kA21222s21222s?kA??? A????????????????AA?AkAkA?kAr2rs?r2rs??r1?r13．分块矩阵的乘法：设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，将它们分块成 ?A11?AA??21????Ar1?C11?CAB??21????Cr1A12A22?Ar2C12C22?Cr2A1t??B11?B?A2t?? ， B??21???????Art??Bt1?B12B22?Bt2?B1l??B2l??
????Btl??C1l?t?C2l??其中C?AikBkj,(i?1,?,r;j?1,?,l) ?ij??k?1??Crl?4、分块矩阵的转置：设
?A11?AA??21????Ar1A12A22?Ar2A1t??AT11?T?A2t??， 则AT??A12?????T??Art???A1t?AT21?AT22?AT2tATr1???ATr2? ????ATrt??5、分块对角矩阵的行列式具有性质： |A|?|A1||A2|?|AS|
例 设矩阵
013?200??1?2?124?000?,B???， 求A+B，AB。 ?60?10?310????00?1?0?201?? 解：按相同的分法把A，B分成以下子块
?1?0A???0??0 8
?1?0 A???0??0013?124????E20?10???O?00?1?2?1?2A1?0? B??6?E2?3???0?200100?0????B10???B2?1?O? E2???E?B1则有A?B??2?O?B22?2?21?所以A?B??63??0?2A1?O??E2?B1????E2?E2??B21200A1??22? 而 E?B?21???O??21?A1E2??B1?A1B2???E2????B2A1? ?E2??3?EB?A1B24??，AB??21??EB0?22??0??7?113??14?224??7?1??. 而B1?A1B2??， 故 AB?????6?3?10??14?2???20?1??03. 小结：
本节主要介绍矩阵的分块运算，作为选讲内容 ，对其概念和运算要求一般性的掌握。
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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 矩阵的初等变换
教学目的：掌握矩阵的初等变换和初等矩阵,会进行初等变换 教学重点：初等变换，利用初等变换求矩阵的逆 教学难点：利用初等变换求矩阵的逆
一、导入
矩阵的初等变换是一种奇妙的运算，它在线性代数中有着极其广泛的应用，借助它我们可以得到很多有用的的结论。
二、新授
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
（1）互换矩阵中两行（列）元素（记ri←→rj 或ci←→c j ）； （2）用一个非零数k乘矩阵的某一行（列）（记k×ri或k×ci ）；
（3）矩阵的某一行（列）元素k倍地加到另一行（列）对应元素上（记ri +k×rj 或ci + k×c j ）；（注意：本行的元素并没有改变）
矩阵的初等行或列变换统称矩阵的初等变换。
如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B，则称A与B等价。记做A ~ B 或 A →B 。矩阵等价的三个性质： （1）反身性 A →A ；
（2）对称性 若A →B ，则B →A ；
（3）传递性：若A →B ，B →C ，则 A →C。
行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，即每段竖线的长度为一行，竖线后面的第一个元素为非零数。如
?2101??2101??0101??0?120?，?0021?，?0020? ????????0000????0003???0000???等都是行阶梯形矩阵。
行最简形矩阵：在行阶梯形矩阵的基础上，每个非零行左数第一个非零元是1，并且它所在列的其它元素都是零。
?E标准型矩阵：它的左上角为一个单位阵，其它元素都是零。就是?r?00?. ?0?m?n定理1 任意一个m×n矩阵A，总可以经过有限次初等行变换将其变成行阶梯形矩阵，进一
步还可化成行最简形矩阵。
定理2 一个非奇异矩阵A，可以经过有限次初等行变换变成单位阵。
定理3 任意一个m×n矩阵A，总可以经过有限次初等变换将其变成标准型矩阵
定义2（初等矩阵）对单位矩阵E施行一次初等变换后得到的矩阵，称为初等矩阵。有以下三种类型：对调、倍乘、倍加， 1．对调两行或对调两列 记为
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