解:
5?r?r3??k11?k0?113??r??30k?414?5k?2?2r3A??32k18?5k????????2?22??012??01?4125214??00k?k?1k?k?3??k3333r1?r2?3 ?????30k?414?5k??0122????????30r1?r22?r3?r????01??00??k?414?5k?? 22?415214k?k2?1k?k?3?3333?41(1)当k?k2?1?0时，即当k?1且k?3时，r(A)?r(A)?3?n有唯一解.
33514(2)当k?1时,也有k2?k?3?0,故r(A)?r(A)?2,方程组有无穷多解,通解含
33?3x?3x3?9有n?r(A)?3?2?1个任意常数.此时矩阵对应的方程组 ?1 与原方程组同解,
?x2?2x3?2?x1?3?t?x1??3??1????????其通解为?x2?2?2t 或?x2???2??t??2?
?x?t??x3????0????1???3(3)当k?3时, r(A)?2?3?r(A),方程组无解.
?x1??5x?12: 求下列齐次线性方程组的通解 ???x1??3x1?3x2?x2?11x2?5x2?x3?2x3?2x3?2x4?3x4?5x4?x4?0?0?0?0
1?2?1?2??1?3?1?3?1?31?2?r2?5r1??5?r3?r1?0?14?r3?r2?0?143?7?1?233?74?3r14?r2??r???r?? A??????????1?11?0?14?02?5?3?7?000???????3501014?370000?????? 31
?1?2??1?3?131??1?01??r2r1?3r2??14142?????????0?0??000???00000?????0?51???14231?? 1?142?000?000??0?2??7???7??7??2?1?2?0??0??1?2?1?1?3?1?3r2?5r1??5?r3?r1?0?141?233r4?3r1???A???????1?11?0?142?5?3???350114?3???01?1?3?1?31?2?3?0?143?7??1r?0r3?r21?24?r214???14?r????????0?0000?00???000?00??0?0??1?r1?3r2?????0??0?0?51???14231??1?142?000?000??0
此矩阵对应的方程组
51?x?x?x43?1142?31?x2?x3?x4142?51?x??x?x43?1142 （其中x3，x4为自由未知 即 ?31?x2?x3?x4?0142??0量），取x3?t1,x4?t2,(t1,t2为任意常数)，则方程组的通解可写成：
51?5??1??x??t?t?x1?12??14??2??1142?x??3??1???x?3t?1t2??t???t???。 ?214122 或 ?1?x3??14??2??x?t???1??0??31x?4??0??1??x?t????2?4解中两个（即n?r(A)个）非零向量?1?(?称它们为该方程组的基础解系。
5311,,1,0)T，?2?(,?,0,1)T都是方程组的解可14142232
§4.5 向量空间
教学目的：学习向量空间，理解维数、及基的概念 教学重点：理解维数、基的概念 教学难点：坐标变换公式
导入 ： 新授：
定义9 设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对向量的
加法和数量乘法两种运算封闭，就称集合V为向量空间。 （解释概念中封闭的含义，举例：几何空间的例子，教材中P104-105例17-23，特别解释“齐次线性方程组的解空间”、“全体不超过n次的多项式的集合”，由一组向量生成（Span）的空间等概念）
定义10 设有向量空间V1及V2，若V1?V2，就称V1是V2的子空间，特
别的若有??V1但??V2，则V1称为V2的真子空间。 例 集合{0}以及V自身都是V的子空间。
定义11 设V为向量空间，如果r个向量?1,?2,??r?V，且满足
（1）?1,?2,??r线性无关
（2）V中任一向量都能被?1,?2,??r线性表示
那么，向量组?1,?2,??r就称为向量空间V的一组基，基向
量的个数r称为向量空间V的维数，V称为r维向量空间。
（多多举例）
当??V时，由上显然有??x1?1?x2?2??xr?r，数组x1?xr称为向量?在基
?1,?2,??r下的坐标。
例题 在Rn中，因为对一个向量空间来说基不是唯一的，所以同一个向量在不同的基下的坐标是不同的。它们的关系如何呢——“过渡矩阵”的概念。
设向量? 在基?1,?2,??n和?1?2??n下的坐标分别为X,Y，即
?x1???~?x2??~??n??????1?2?????x??n??y1???~??y???n??2?
?????y??n?~~~∴ ????1?2那么，向量X,Y之间会有什么关系呢？
（注意它们都是n维基向量，故它们构成的矩阵都是可逆方阵）
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~?~设 ??1?2????n????1?2?~?a11??a21??n?????a?n1a12a22?an2?a1n???a2n?
?????ann???a11a12?a1n???~~~?a21a22?a2n?其中?称为从基向量?1,?2,??n到?1?2??n的过渡矩阵。（一组
????????a??n1an2?ann?向量可以被基向量线性表示） ?a11??aA??21???a?n1a12a22?an2?a1n???a2n????1?2?????ann??~?~??1?2???n??1???n?
??y1????y?A?2??AY ????y??n?~?x1????x2?X?∴ ??????1?2???x??n??y1???~?y2??~或Y??????1?2?????y??n?~??n??1~?~??1?2??y1???~??y???n??2???????y??n????n???1??1?2?x1????x2???n????A?1X
????x??n?
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第五章 相似矩阵及二次型 §5.1 向量的内积、长度及正交性
教学目的：理解并掌握向量的内积、长度、正交性 教学重点：正交性
教学难点：施密特正交化
导入 ：在向量空间中，还没有几何空间中大家已经熟悉的“度量”（这里解释度量的含义）的概念。如何在一些向量空间中建立度量的概念呢？这是本章要研究的主要内容之一。（注意：并不是所有向量空间中都可以建立“度量”，提示：向量空间有有限维的，也有无限维的，本课程只研究有限维的情况） 新授：
为了引进度量的概念，首先先在向量空间中定义一种运算：
?x1??y1?????nx?2??y2?T定义1 设有n维向量X???,Y???，令?x,y??XY??xiyi
??i?1?????x??y??n??n? ?X,Y? 称为向量X与Y的内积。
实际上，内积是Rn到R1的一个映射，也就是说，任给Rn中的两个向量，都可以按照上面原则对应一个实数?X,Y?。
下面就对这个映射进行进一步的研究。
内积具有如下性质：（用X,Y,Z表示n维向量，?表示实数） （ⅰ）?X,Y???Y,X? （ⅱ）??X,Y????X,Y? （ⅲ）?X?Y,Z???X,Z???Y,Z? （ⅳ）?X,X??0,?X,X??0?X?0
（证明过程讲，教案略）
※（Schwarz）施瓦茨不等式： ?X,Y?2??X,X??Y,Y? ，等号成立当且仅当向量X,Y线性相关。（教材没有证明）
Pr. 当Y?0时等号显然成立
下面不妨设Y?0
令t是一个实变量，作向量Z?X?tY
由向量的内积的性质知 ?Z,Z???X?tY,X?tY??0 （对任何t成立） ∴ ?X,X??t2?Y,Y???2t?X,Y? 特别的取t??
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?X,Y? 代入时 ?Y,Y?