21?r?3r?1?2321??1?2321??r??0?3?2r1A??3?15?1?1??5?4?7?4??????12?33?5?4?71??2??0?
1?2321???3?r2?r????05?4?7?4???0005??0?根据定理3.1知,矩阵所对应的方程组
?x1?2x2?3x3?2x4?1? ?5x2?4x3?7x4??4 (3.3)
?0?x4?5?与原方程组同解.但方程组(3.3)由最后一个方程可知它无解,故原方程组无解。
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第四章 向量组的线性相关性 §4.1 向量组及其线性组合
教学目的：使学生了解和掌握向量、向量组的概念、线性组合 教学重点：向量的线性关系 教学难点：向量的线性关系 一、 导入 二、 新授
定义1 n个有次序的数所组成的数组a1,a2,?an称为n维向量，这n个数称为该向量的n个
?a1????a2?分量，第i个数称为第i个分量。特别的如果n维向量写成????称为是n维列向量，
????a??n?当所有ai(i?1,2,?n)都为实数时的向量称为n维实向?T?(a1,a2,?an)称为是n维行向量。
量，当ai(i?1,2,?n)中含有复数时的向量称为n维复向量。
定义2 在向量之间进行向量的加法和数量乘法运算，称为向量的线性运算。在一组向量
?1,?2,??m 和一组实数k1,k2,?km中进行线性运算，得到一个表达式
k1?1?k2?2???km?m??ki?i，称为是向量组?1,?2,??m与实数k1,k2,?km的线性组合。
i?1m定义3 给定向量组?1,?2,??m和?，如果存在一组数k1,k2,?km，使即?是向量组?1,?2,??m的线性组合，这时称向量???k1?1?k2?2???km?m??ki?i，
i?1m可以被向量组?1,?2,??m线性表出（表示）
特别举例对线性方程组AX?b而言，设A的每列为一个列向量，则方程组可以写成
x1?1?x2?2???xn?n??xi?i?b，其中?i(i?1,2,?n是A的列向量组。则原来方程组
i?1nAX?b有解的叙述可以表述为“存在一组数x1,x2,?xn，使得向量b可以被这组数和向量组
?1,?2,??n线性表示，即b?x1?1?x2?2???xn?n??xi?i。
i?1n定理1 向量b能由向量组A:?1,?2,??n线性表示的充分必要条件是矩阵A?(?1,?2,??n)的秩等于矩阵B?(?1,?2,??n,b)的秩。
Pr. 设A是线性方程组AX?b的系数矩阵，b是常向量，则由前可知：线性方程组有解?b
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可以被这组数和向量组?1,?2,??n线性表示；又有：线性方程组有解?系数矩阵A的秩等于增广矩阵B的秩；由等价的传递性有b可以被向量组?1,?2,??n线性表示?A的秩等于
B的秩。证毕。
定义4 给定向量组A:?1,?2,??m和B:?1,?2,??l，如果A中的每一个向量都可以被向量组B:?1,?2,??l线性表出，就称向量组A可以经过向量组B线性表出；如果向量组A和向量组B可以互相线性表示，这时称向量组A与向量组B等价。
当B:?1,?2,??l经过A:?1,?2,??m表示出来时，有：（不妨考虑两组向量中的所有向量都是具有n个分量的向量）
?k1j???m?k1j??j??kij?i?k1j?1?k2j?2???kmj?m?(?1,?2,??m)??(j?1,2,?l)?i?1???k??mj?当把
?j（注意：在这个表(j?1,2,?l)按顺序排列起来，并考虑到矩阵乘法的规则有下式成立：
???????示中的向量均为为列向量）
?k11k12?k1l??kk?k2l(?1,?2,??l)?(?1,?2,??m)?2122??????kk?kml?m1m2其中K?(kij)m?l称为 这一表示的系数矩阵
对上式换个角度看问题可以发现，当把矩阵K?(kij)m?l的每一行列看成是一个向量Ki时，
?b11??b21(?,?,??)?∵ 12l????b?n1?a11??a21?????a?n1a12a22?an2b12b22?bn2?b1l??B1??k11k12?k1l???????b2l??B2?kkk??21222l???(?,?,??) 12m???????????????????????bnl??Bn??km1km2?kml?a12a22?an2?a1m??K1?????a2m??K2?
????????????anm??Km???a1m??k11k12?k1l??a11?????a2m??k21k22?k2l??a21????????????????????anm??km1km2?kml???an1∴ 上式也可以解释为向量组B的行向量组Bi被K?(kij)m?l的行向量组线性表示出来了。 当矩阵A与矩阵B是列等价时，即矩阵A可以经过一系列初等列变换变成矩阵B，由前面结论知道存在可逆的矩阵Q，使得B?AQ，
由前面讨论可知，这时矩阵B的列向量组可以被矩阵A的列向量组线性表示，又因为矩阵Q是可逆的，所以A?BQ?1，因此矩阵A的列向量组也可以被矩阵B的列向量组线性表示，
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即这两组列向量是等价的。
当矩阵A与矩阵B是行等价时，即矩阵A可以经过一系列初等行变换变成矩阵B，由前面结论知道存在可逆的矩阵P，使得B?PA，
由上分析知这时矩阵B的行向量组可以被矩阵A的行向量组线性表示，又因为矩阵P是可逆的，所以A?P?1B，因此矩阵A的行向量组也可以被矩阵B的行向量组线性表示，即这两组行向量是等价的。
下面就来研究向量组的等价性与矩阵的等价性以及它们的秩之间的种种关系： 定理2 向量组B:?1,?2,??l可以经过A:?1,?2,??m表示出来的充分必要条件是矩阵
A?(?1,?2,??m)的秩等于矩阵
(A,B)?(?1,?2,??m,?1,?2,??l)的秩，即R(A,B)?R(A) 。
Pr. ∵ R(A,B)?R(A)? 矩阵方程组AX?B有唯一解?矩阵B的列向量组可以被矩阵A的列向量组线性表示。 ∴ 结论成立。
推论 向量组A:?1,?2,??m与向量组B:?1,?2,??l等价的充分必要条
件是R(A)?R(B)?R(A,B)，其A,B中是向量组A和B构成的矩 阵。
Pr. ∵ 向量组A:?1,?2,??m与向量组B:?1,?2,??l等价的定义是（当然是充分必要的）它
们可以互相线性表示?R(A,B)?R(A)且R(A,B)?R(B) ∴ R(A)?R(B)?R(A,B)
定理3 若向量组B:?1,?2,??l能被向量组A:?1,?2,??m线性表示，则
R(B)?R(?1,?2,??l)?R(?1,?2,??m)?R(A) Pr. 由定理2的结论知R(A)?R(A,B) ，而R(B)?R(A,B) ∴ R(B)?R(A,B)?R(A) 证毕 总结以上结论可以看到：
① 一组向量B:?1,?2,??l能被向量另一组A:?1,?2,??m线性表示
? 存在矩阵K使B?AK
? 矩阵方程AX?B有解
② 矩阵的行（列）向量组的等价性与向量组的线性表示之间是有关系的。
③ 给出向量组之间可以线性表示的几何解释；给出向量组等价的几何解释；给出这些关
系和线性方程组之间的联系等等。
④ n维单位坐标向量的概念——解释几何意义
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?1??0??0????????0??1??0?向量组e1???,e2???,?en???称为是n维单位坐标向量，它们每一个都是n维
??????????0??0??1???????向量。
例3（见书上P87）
§4.2 向量组的线性相关性 教学目的：理解向量组的线性相关、线性无关 教学重点：线性相关、线性无关的判别. 教学难点：线性相关、线性无关的等价条件 导入 ：
通过线性组合的概念引入线性相关性 新授：
定义5 给定向量组A:?1,?2,??m，如果存在不全为0的数k1,k2?km 使得线性组合
?k?ii?1mi?k1?1?k2?2???km?m?0成立，则称向量组?1,?2,??m是线性相关的；
否则就称它们是线性无关的。
（大量举例说明向量的线性相关性，几何空间的例子等）
定理4 一组向量?1,?2,??m（m?2）是线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量
可以被其它的向量线性表示。
Pr. （充分性） ∵ ?1,?2,??m中至少有一个向量可以被其它的向
量线性表示，设该向量为?i
则有 ?i??kj?j 即k1?1???ki?1?i?1??i?ki?1?i?1???km?m?0
j?1j?im∴ 有不全为0的数k1,?ki?1,?1,ki?1?km使得它们的线性组合为零 故 ?1,?2,??m是线性相关的。
（必要性）∵ ?1,?2,??m是线性相关的 ∴ 有不全为0的数k1,k2?km 使得线性组合
?k?ii?1mi?k1?1?k2?2???km?m?0成立，
∵ k1,k2?km不全为0，设为ki
有 k1?1???ki?1?i?1?ki?1?i?1???km?m??ki?i
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