§4.4 线性方程组解的结构
教学目的：学习齐次线性方程组解的结构和非齐次线性方程组解的结构 教学重点：齐次线性方程组解的结构和非齐次线性方程组解的计算为重点. 教学难点：齐次线性方程组解的结构和非齐次线性方程组解的结构证明为难点. 导入 ：
研究一般的线性方程组的求解问题, 主要回答三个问题： (1) 解的存在性，即有解问题，解的判定定理； (2) 解的结构，即解的数量，解与解之间的关系； (3) 求解问题，即求解方法.
通过研究(2)，可以进一步深刻理解(1)，进而对(3)的方法进行进一步优化. 新授：
一、线性方程组有解的判定定理
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2一般的线性方程组 ? (4.1)
???????????????am1x1?am2x2???amnxn?bm?a11?a21若记 A??????am1a12a22?am2?a1n??b1??x1??b??x??a2n?2?,X???,B??2? ， ???????????????amn?x?bm??n?则方程组(4.1)可写成矩阵形式 AX=B 。
?a11?a21若记 A??????am1a12a22??a1n?a2n??b1?b2??，则称A为方程组(4.1)的增广矩阵. ???bm?am2?amn?a11??a12??a1n??b1??a??a??a??b?21222n2若记 ?1???,?2???,?,?n???,b???，则线性方程组(4.1)可以写成
????????????????????aaa?m1??m2??mn??bm?x1?1?x2?2???xn?n?b (4.2)
(4.2)称为线性方程组的向量形式.
定理8: 线性方程组 (4.1)有解的充分必要条件是：其系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即 r(A)?r(A).
推论1. 线性方程组 (4.1)有唯一解的充分必要条件是：r(A)?r(A)?n. 推论2. 线性方程组 (4.1)有无穷多解的充分必要条件是：r(A)?r(A)?n.
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二、齐次线性方程组解的结构 1.对于齐次线性方程组(4.3)
?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?21121222nn (4.3) ????????????????am1x1?am2x2???amnxn?0矩阵形式 AX=0
它的每一组解都是一个向量，称之为解向量(solution vector)。解向量具有如下的性质：
（1）若X1是AX=0的一个解向量，k?R,则kX1仍为AX=0的解。
证明： A（kX1）= k（AX1）= k0=0， 证毕。 （2）若X1，X2都是AX=0的解，则X1+X2仍是AX=0的解。
证明：A（X1+X2）=AX1+ AX2=0+0=0。 证毕。 若用S表示齐次线性组(4.3)的全体解向量所成的集合，由上述性质可知，集合S对向量的线性运算是封闭的，所以集合S是一个向量空间，称为齐次线性方程组(4.3)的解空间.对齐次线性方程组(4.3)的解空间我们可求它的一个基：
设系数矩阵A的秩为r，则经过若干次初等行变换，总可把A化为简化阶梯形矩阵
?10?0c1r?1?01?0c2r?1?????????00?1crr?1?00?00????????00?00??c1n??c2n?????
??crn??0??????0??由定理8知,矩阵对应的方程组
?x1???????c1r?1xr?1x2?c2r?1xr?1???xr?crr?1xr?1???c1nxn?0???c2nxn?0
??????crnxn?0与方程组(4.3)同解,即有
?x1??c1r?1xr?1???c1nxn?x??c?221r?1xr?1???c2nxn ?
?????????????xr??crr?1xr?1???crnxn自由未知量xr?1,?,xn取任意常数t1,?tn?r,得其通解
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?x1??c1r?1t1???c1ntn?r?x??c21r?1t1???c2ntn?r?2?????????????xr??crr?1t1???crntn?r ?x?tr?11??xr?2?t2???????xn?tn?r写成其向量形式
??c1n???c1r?1???c1r?2??x1???c???c???c??x?2r?12r?2?2n??????2????????????????????x??c?c?crrnrr?1rr?2? ??t2?????tn?r? ???t1?x?0??1??0??r?1??0??0??1??xr?2??????????????????????????xn???0???0???1??若令
??c1n???c1r?1???c1r?2??x1???c???c???c??x?2r?12r?2?2n??????2????????????????????x??c?c?crX???,?1??rr?1?,?2??rr?2?,?,?n?r??rn? x?0??1??0??r?1??0??0??1??xr?2?????????????????????????xn????0???0???1??则通解表示为 X?t1?1?t2?2???tn?r?n?r.
2. 定义8：设?1,?2,?,?t是齐次线性方程组AX=0的一组解, 如果 (1) ?1,?2,?,?t线性无关;
(2) AX=0的任一个解都可由?1,?2,?,?t线性表出, 则称?1,?2,?,?t为齐次线性方程组AX=0的一个基础解系.
3. 定理9：在齐次线性方程组AX=0有非零解时 (即r(A)=r 例1 求方程组 ?x1?x2?x3?x4?0? ?x1?x2?x3?3x4?0的通解和基础解系. ?x?x?2x?3x?0234?1解：利用矩阵的初等变换将系数矩阵化成简化阶梯形矩阵 28 1?r?r?1?1?11??1?1?121??r??0?3?r1A??1?11?3??02?4??????3?0?12??1?1?2??0?1??1?1?1?1?10?1???r??0?3?r1?????001?2??01?2??????000?000??0??0?1r3?r221r22 对应一个与原方程组等价方程组 ?x1?x2?x4?x1?x2?x4?0 ? 即 ? （其中x2，x4为自由未知量） x?2xx?2x?04?334?取x2=t1，x4=t2 ，（t1，t2为任意常数），得通解 ?x1?t1?t2?x1??1??1??x?t?x??1??0??212 ? ，写成向量形式 ???t1???t2??, ?x3??0??2??x3?2t2???????xx?t0???1?2?4??4?1??1??1??0?而 ?1???,?2??? ?0??2?????0???1?就是原方程组的一个基础解系. 因此通解也可表示为X?t1?1?t2?2，（t1，t2为任意常数. 三、非齐次线性方程组解的结构 对于非齐次线性方程组(4.1) ?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ? (4.1) ???????????????am1x1?am2x2???amnxn?bm或 AX=B 它的解具有下述性质: (1) 若X1，X2都是AX=B的解，则X1―X2是AX=0的解。 证明：A（X1―X2）=AX1― AX2=B―B=0。 证毕。 (2) 若X0为AX=B的解,X*为AX=0的解,则X0+X*必为AX=B的解. 证明: A(X0+X*)=AX0+AX*=B+0=B。 证毕。 定理10：设X0是非齐次线性方程组(4.1)的一个特解, X*是非齐次线性方程组(4.1)所对应的齐次线性方程组(称为导出组) AX=0的通解, 则非齐次线性方程组(4.1)的通解可表示为 X=X0+X* 证明：因AX=B, AX0=B, 由性质(1)知X―X0是AX=0的任意一个解. 令 X*= X―X0 故 X=X0+X* 。 证毕。 29 ?x1?x2?x3?x4?0?例2 求方程组 ?x1?x2?x3?3x4?1 ?x?x?3x?5x?1234?1解:对增广矩阵进行初等行变换 10?r?r?1?1?110??1?1?121??r??00?3?r1A??1?11?31??2?41??????51?41??1?1?3??00?2???1?10?1r3?r2??1?1?1101r2?1?r1?r2?2?????001?2?????001?2?2???00000?0?000???1? 2?1??2?0???可见，r(A)?r(A)?2，故方程组有解，并可得与原方程组同解方程组 11??x?x?x?x??x2?x4241?1?2 即?2 ? （其中x2，x4为自由未知量） 11?x3?2x4??x3??2x422??取x2=t1，x4=t2 （t1，t2为任意常数），得通解 1??1?x??t?tx???1??1?1121???2?x??2??1??0???x2?t120 写成向量形式????1??t1???t2??。 ?1?x3????0??2??x3??2t2???2?????2?x0???1??4??0??x?t??2?4?1??1??1??2??1??0??0?而向量X0??1?是原方程组的一个特解。?1???,?2???是其导出组的一个基础解系。 ?0??2????????2?0???1??0???故所求通解也可表示为 X?X0?t1?1?t2?2 （t1，t2为任意常数）。 四. 小结：本节学习齐次线性方程组的解的结构以及非齐次线性方程组的解的结构，要求会求齐次线性方程组以及非齐次线性方程组的通解. 五. 作业： ?kx1?x2?x3?5?： 对方程组 ?3x1?2x2?kx3?18?5k ?x?2x?23?2问k取何值时方程组有唯一解?无穷多解?无解?在有无穷多解时求出通解. 30