?a11?a21 ?????am1a12a22?am2?a1n??a2n??
????amn?这M×N个数称为菊阵A的元素,简称为元,数aij位于矩阵A的第i行j列,称为矩阵A的(I,J)元,以数
aij为(I,J)元的矩阵可简记为(aij)或(aij)m?n,M×N矩阵A也记着Am?n.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵
行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵, n阶矩阵A也记作An. 只有一行的矩阵 A?(a1a2?an)
称为行矩阵,又称为行向量, 行矩阵也记作
A?(a1,a2,?,an)
只有一列的矩阵
?b1????b2? A???
????b??n?称为列矩阵,又称为列向量.
两个矩阵的行数相等,列数也相等,称它们是同型矩阵,如果A=(aij),B=(bij)是同型矩阵,,并且它们的对应元素相等,即
aij?bij(i?1,2,?,m,j?1,2,?n),
那么就称矩阵A与矩阵B相等,级作
A=B
元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O,不同型的零矩阵是不同的.
§2 矩阵的运算
一 矩阵的加法
定义2 设有两个m?n矩阵A=(aij)和B=(bij),那么矩阵A与B的和记着A+B,规定为
?a11?b11?a?b2121 ?????am1?bm1a12?b12a22?b22?am2?bm2a1n?b1n??a2n?b2n??
????amn?bmn??两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算.
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矩阵加法满足下列运算规律(设A,B,C都是m?n矩阵): (i) A+B=B+A;
(ii)(A+B)+C=A+(B+C) A=(aij)的负矩阵记为 -A=(?aij)
A+(-A)=O 规定矩阵的减法为
A-B=A+(-B)
二 矩阵的数乘
定义3 数?与矩阵A的乘积记作?A或A?,规定为
??a11??a?A??21?????am1?a12?a22??am2??a1n???a2n??
?????amn?矩阵数乘满足下列运算规律(设A,B为m?n矩阵,?,?为数): (1) (??)A??(?A); (2) (???)A??A??A (3) ?(A?B)??A??B
重点,难点:矩阵乘矩阵:让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义,特别强调前面矩阵的列等于后面矩阵的行的原因.说明矩阵乘法常态下不满足消去率,通过练习提高学生的计算准确率.
三 矩阵乘矩阵
定义4 设A=(aij)是一个m?s矩阵,B=(bij)是一个s?n矩阵,那么矩阵A与矩阵B的乘积是一个m?n矩阵C=(cij),其中
cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsj??aikbkjk?1s
(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)把此乘积记为 C=AB 且有
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?b1j???s?b2j??ai1b1j?ai2b2j???aisbsj??aikbkj?cij (ai1,ai2,?,ais)???k?1???b??sj?例4 求矩阵
?4??103?1???1? A=?与B??2102??2????1?的乘积
10??13? ?011?34???4?103?1????1 解 C=AB=??2102???2????1?
例5 求矩阵
10??13??9?2?1??=? ???011?9911??34??4???24??2A=??1?2??与B=???3?6?? ????的乘积AB与BA 解 AB=????24????1?2?4???16?32??2?? ??3?6??=??8?16????4???24??00??2?AB ????? BA=?=????????3?6??1?2??00?对于两个n阶方阵A,B,若AB=BA,称方阵A与B可交换
从上面等式可以得出结论:若A?O而A(X?Y)?0也不能得出X=Y的结论 矩阵的乘法虽不满足交换律,满足结合律和分配律
(1) (AB)C=A(BC)
(2) ?(AB)?(?A)B?A(?B)?为数
(3) A(B+C)=AB+AC
(B+C)A=BA+CA
对于单位矩阵E,有
EmAm?n?Am?n,Am?nEn?Am?n 即:
EA=AE=A
特殊矩阵: 1 单位矩阵;
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?10??01 E=?????00?2 数量矩阵
?0???0? ?????1???0???0? ??????????0??0? ?E??????00?3 对角矩阵
?a11??0 ????0?4 ;三角矩阵
0??a22?0?
?????0?ann???a12?a1n??a11??a22?a2n??a21或
??0??????0?ann???an10a22?an20???0?
?????ann???0?a11??0 ????0?可以得到:
(?En)An??An?An(?En) 表明纯量矩阵跟任何矩阵可交换 定义矩阵的幂为
A1?A,A2?A1A1,Ak?l?AkAl,(Ak)l?Akl 其中k为正整数
例6 证明
??cos? ???sin?sin???cosn??sinn?????? ??cos???sinn?cosn???证 用数学归纳法,n?1时显然成立,设n=k时成立,即 ?cos??sin???cosk???? ??sin?cos???sink????当n?k?1时,有
k?1kn?sink??? ?cosk???cos??sin???cosk??sink???cos??sin????? ??sin?cos???sink?cosk?????sin?cos???
???????cosk?cos??sink?sin??sink?cos??cosk?sin?? =??sink?cos??cosk?sin?cosk?cos??sink?sin???
?? =???cos(k?1)??sin(k?1)??? ??sin(k?1)?cos(k?1)??T等式得证.
四 矩阵的转置
定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作A
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?a11?a21 A=?????am1(1) (AT)T?A
a12a22?am2?a1n??a11?a?a2n?T?.则A??12???????amn??a1na21?am1?a22?am2?? ????a2n?amn?A的转置也是一种运算,满足 (2) (A?B)T?AT?BT (3) (?A)T??AT
(4) (AB)?BA
证明(4) 设A?(aij)m?s,B= cji?TTTT(bij)s?n,记AB?C?(cij)m?n,BTAT?D?(dij)n?m,有
?ak?1ssjkkib
T而B的第i行为(b1i,b2i,?,bsi),A的第j列为(aj1,?,ajs)T,因此
dij??bkiajk??ajkbki
k?1k?1sdij?cji有
(i?1,2,?,n;j?1,2,?,m)
BTAT?(AB)T
例7 已知
?17?1???20?1??423 A??? ?132??,B=????201???求(AB)T
解 因为
?17?1???014?3??20?1??423? AB? ??=??132???171310??
???201?????所以
?017???T(AB)?1413 ??
??310???T若A是n阶方阵,如果满足A?A,即
aij?aji(i,j?1,2,?,n)
那么A称为对称矩阵.
T 例 设列矩阵X=(x1,x2,?,xn)满足XX?1,E是n阶单位阵,H?E?2XX,证明H是对称
TT矩阵,且HHT?E
T 证 H 所以H是对称矩阵.
?(E?2XXT)T
?ET?2XXT?E?2XX?HT
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