?n?P(X?i)???pi(1?p)n?i?i?，
其中，i?0,1,2,?,n，0?p?1．
（３）超几何分布，设N,M,n为正整数，且n?N,M?N，又设随机变量X的概率函数为
?M??N?M?????k??n?k??P(X?k)?,k?0,1,?,n?N????n?．
则称随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布． (４) 泊松分布P(?)，它的概率函数为
P(X?i)?其中，i?0,1,2,?,n,?，??0．
(５) 均匀分布，它的概率函数为
其中，i?0,1,2,?,n．
(６) 几何分布G(p)，它的概率函数为
?ii!e??，
P(X?ai)?1n，
i?1P(X?i)?p(1?p)，
其中，i?1,2,?，0?p?1．
５．二维随机变量
若对于试验的样本空间?中的每个试验结果e，有序变量(X,Y)都有确定的一对实数值与e相对应，即X?X(e)， Y?Y(e)，则称(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量． 6．二维离散型随机变量及联合概率函数
如果二维随机变量(X,Y)仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称(X,Y)为二维离散型随机变量．
二维离散型随机变量(X,Y)的分布可用下列联合概率函数来表示：
P(X?ai,Y?bj)?pij,i,j?1,2,?,
ij其中，．
7．二维离散型随机变量的边缘概率函数
pij?0,i,j?1,2,?,??pij?1?,） 设(X,Y)为二维离散型随机变量，pij为其联合概率函数（i,j?1,2，称概率
P(X?ai)(i?1,2,?)为随机变量X的边缘概率函数，记为pi?并有
pi.?P(X?ai)??pij,i?1,2,?j，
称概率P(Y?bj)(j?1,2,?)为随机变量Y的边缘概率函数，记为p.j，并有 p.j=
P(Y?bj)??pij,j?1,2,?i.
8．随机变量的相互独立性 ．
第 36 页，共 46 页
设(X,Y)为二维离散型随机变量，X与Y相互独立的充分必要条件为
多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．
９．二维离散型随机变量(X,Y)的条件概率函数
设(X,Y)为二维离散型随机变量，pij为其联合概率函数 (i,j?1,2,?)，X在给定Y?bj下的条件概率函数为
pij?pi?p?j,对一切i,j?1,2,?.
P(X?ai|Y?bj)?
pijp?j,i?1,2,?;
Y在给定X?ai下的条件概率函数为
10．随机变量函数的分布
P(Y?bj|X?ai)?pijpi?,j?1,2,?
设X是一个随机变量，g(x)是一个已知函数，Y?g(X)是随机变量X的函数，它也是一个随机变量．对离散型随机变量X，下面来求这个新的随机变量Y的分布．
设离散型随机变量X的概率函数为
X a1a2?an? p1p2?pn? Pr 则随机变量函数Y?g(X)的概率函数可由下表求得 Y?g(X) g(a1)g(a2)?g(an)? Pr
p1 p2 ? pn 但要注意，若g(ai)的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率pi相加． 1１．二维离散型随机变量函数的分布
如果二维离散型随机变量的联合概率函数为
P(X?ai,Y?bj)?pij,i,j?1,2,?,
则随机变量函数Z?g(X,Y)的概率函数为
P(Z?g(ai,bj))?pij,i,j?1,2,?,
但要注意，取相同g(ai,bj)值对应的那些概率应合并相加． 特别有下面的结论：
(j) 设X~B(m,p),Y~B(n,p)，且X与Y相互独立，则X?Y~B(m?n,p)； (ii) 设X~P(?1),Y~P(?2)，且X与Y相互独立，则X?Y~P(?1??2)．
三、思考题
１．某地有２５００人参加人寿保险，每人在年初向保险公司交付把费１２元，若在这一年内死亡，则由其家属从保险公司领取２０００元．设该地人口死亡率为１．５％，求保险公司获利不少
第 37 页，共 46 页
于１００００元的概率．
２．已知二维随机变量(X,Y)的联合概率函数为 Y
X ０ １ ２ 111 ０ 9 18 6
1 １ ? ? 9 问?,?取何值时，X与Y相互独立？
第三章 连续型随机变量及其分布
一、教学要求
1．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，并掌握其性质，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其应用．
2．理解二维随机变量的联合分布的概念、性质以及连续型随机变量联合概率密度；会利用二维概率分布计算有关事件的概率．
3．理解二维随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布． 4．理解随机变量的独立性概念，掌握连续型随机变量独立的条件．
5．掌握二维均匀分布；了解二维正态分布的密度函数，理解其中参数的概率意义．
6．会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个随机变量之和的概率分布．
７．会求简单随机变量函数的概率分布．
本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算．
二、知识要点 1．分布函数
随机变量的分布可以用其分布函数来表示，随机变量X取值不大于实数x的概率P(X?x)称为随机变量X的分布函数，记作F(x), 即
F(x)?P(X?x),???x??．
2．分布函数F(x)的性质 (1) 0?F(x)?1;
(２) F(x)是非减函数，即当x1?x2时，有F(x1)?F(x2)；
F(x)?0,limF(x)?1lim (3) ;
x???x???F(x)?F(a)limF(x) (4) 是右连续函数，即x?a?0．
由已知随机变量X的分布函数F(x)，可算得X落在任意区间(a,b]内的概率
也可以求得 3．联合分布函数
二维随机变量(X,Y)的联合分布函数规定为随机变量X取值不大于x实数的概率，同时随机
第 38 页，共 46 页
P(a?X?b)?F(b)?F(a); P(X?a)?F(a)?F(a?0)．
变量Y取值不大于实数y的概率，并把联合分布函数记为F(x,y)，即
F(x,y)?P(X?x,Y?y),???x???,???y???．
4．联合分布函数的性质 (1) 0?F(x,y)?1；
(2) F(x,y)是变量x(固定y)或y(固定x)的非减函数； (3)
limF(x,y)?0,limF(x,y)?0x???y???，
limF(x,y)?0,limF(x,y)?1
x???y???x???y???；
(4) F(x,y)是变量x(固定y)或y(固定x)的右连续函数；
(5) P(x1?X?x2,y1?Y?y2)?F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y2)?F(x1,y1)． 5．连续型随机变量及其概率密度
设随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在一个非负函数f(x)，使得对于任一实数x，有
成立，则称X为连续型随机变量，函数f(x)称为连续型随机变量X的概率密度．
??xF(x)??f(x)dx 6．概率密度f(x)及连续型随机变量的性质 （１）f(x)?0; （２）
?????f(x)dx?1；
（３）连续型随机变量X的分布函数为F(x)是连续函数，且在F(x)的连续点处有
F?(x)?f(x)；
（4）设X为连续型随机变量，则对任意一个实数c，P(X?c)?0； (5) 设f(x)是连续型随机变量X的概率密度，则有
P(a?X?b)?P(a?X?b)?P(a?X?b)?P(a?X?b)
＝a．
7．常用的连续型随机变量的分布
(1) 均匀分布R(a,b)，它的概率密度为
?bf(x)dx其中，???a?b???)．
?1,a?x?b;?f(x)??b?a?其余. ?0, (2) 指数分布E(?)，它的概率密度为
其中，??0．
2??e??x,x?0;f(x)??其余. ?0, (3) 正态分布N(?,?)，它的概率密度为
第 39 页，共 46 页
?12f(x)?e2?,???x???2?? ，
其中，???????,??0，当??0,??1时，称N(0,1)为标准正态分布，它的概率密度为
(x??)21?x2f(x)?e,???x???2?，
标准正态分布的分布函数记作?(x)，即
1?t2?(x)??edt???(x)2?，
当出x?0时，?(x)可查表得到；当x?0时，?(x)可由下面性质得到
x22?(?x)?1??(x)．
2X~N(?,?)，则有 设
x??F(x)??()?；
b??a??P(a?X?b)??()??()??．
８．二维连续型随机变量及联合概率密度
对于二维随机变量(X，Y)的分布函数F(x,y)，如果存在一个二元非负函数f(x,y)，使得对于任意一对实数(x,y)有
成立，则(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为二维连续型随机变量的联合概率密度． ９．二维连续型随机变量及联合概率密度的性质
????xyF(x,y)???f(s,t)dtds (1) f(x,y)?0,???x,y???； (2)
??????????f(x,y)dxdy?1；
(3) 设(X,Y)为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线L，有P(X,Y) (4) 在f(x,y)的连续点处有
?L)0?； ’
?2F(x,y)?f(x,y)?x?y;
(5) 设(X,Y)为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D有
P((X,Y)?D)???f(x,y)dxdyD．
1０，二维连续型随机变量(X,Y)的边缘概率密度
设f(x,y)为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X的边缘概率密度为
??fX(x)??Y的边缘概率密度为
??f(x,y)dy；
fY(y)??
????f(x,y)dx
．
第 40 页，共 46 页