?1?00???5??1 A??01?1?
?0?23?????对矩阵进行按行分快或按列分块:
m?n矩阵A有m行,称为矩阵A的m个行向量,若第i行记作
则矩阵A记为
?iT?(ai1,ai2,?,ain)
??1T??T???2? A???
?????T??m?m?n矩阵A有n列,称为矩阵A的n个列向量,若第j列记作
?a1j????a2j? ?j??
?????a??mj?则 A?(a1,a2,?,an)
对于矩阵A?(aij)m?s与矩阵B?(bij)s?n的乘积矩阵AB=C=(cij)m?n,若把行分成m块,把B分成n块,有
??1T???1Tb1?1Tb2??1Tbn??T??T?TT??2???2b1?2b2??2bn?(b,b,?,b)???cij?m?n AB? ?12n?????????????T???Tb?Tb??Tb?m2mn??m??m1其中
?b1j????b2j?sTcij??ibj?(ai1,ai2,?,ais)????aikbkj
???k?1?b??sj?以对角阵?m左乘矩阵Am?n时把A按行分块,有
??1???1T???1?1T?????T??T?2????2???2?2? ?mAm?n??=? ?????????????T???T???m?????m???m?m?以对角阵?n右乘矩阵Am?n时把A按列分块,有
??1??A?n? (a1,a2,?,an)????
?2????=(?1a1,?2a2,?,?nan) ???m?? 第 16 页，共 46 页
例15 设AA?O,证明A?O
证 设A?(aij)m?n,把A的列向量表示为A=(a1,a2,?,an),则
T?a1?T?a2TAA?????aT?T
?TTT?a1a1a1a2?a1an???T?TT??aaaa?a2an??(a1,a2,?,an)=?2122 ????????aTaaTa?aTa??n2nn??n1?因为AA?O,所以,
aiTaj?0,(i,j?1,2,?,n), 特别有
aT,2,?,n) jaj?0,(j?1T?a1j????a2j?222T(a,a,?,a)?a?a???a而 ajaj?1j2jmj?1j2jmj?0 ?????a??mj?得 a1j?a2j???amj?0,(j?1,2,?,n) 即 A?O
下面用分块矩阵证明第一章中的克莱姆法则
克莱姆法则 对于n个变量,n 个方程的线性方程组
?a11x1?a12x2??a1nxn?b1?ax?ax??ax?b?2112222nn2 ?
???????????????an1x1?an2x2??annxn?bn如果它的系数行列式D?0,则它有唯一解
11 xj?Dj?(b1A1j?b2A2j???bnAnj)(j?1,2,?,n)
DD 证 把方程组写成向量方程
Ax?b
这里A?(aij)n?n为n阶矩阵,因A?D?o,故A存在.
?1Ax?AA?1b?b
表明x?Ab是方程组的解向量,也是唯一的解向量. 由于A?1?1?11?A,所以x?A?1b?A?b,即
DA?x1??A11A21?An1??b1??b1A11?b2A21???bnAn1??????????x2?1?A12A22?An2??b2?1?b1A12?b2A22???bnAn2??? ????D?????????D????????????????????x??A??????n??n1An2?Ann??bn??b1A1n?b2A2n???bnAnn?11也就是 xj??b1A1j?b2A2j???bnAnj??Dj(j?1,2,?,n)
DD本授课单元教学手段与方法：
讲授为主,练习为辅,通过对高阶矩阵特别是可分出部分零矩阵或单位阵的四阶矩阵的分块让学
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生掌握分块矩阵的加法运算,数乘运算,矩阵乘矩阵的运算,以及求逆矩阵的运算,并列举了几个典型例 子的运算.
本授课单元思考题、讨论题、作业： P55:26;P56:29.
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）
授课题目（教学章节或主题）：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 矩阵的初等变换
本授课单元教学目标或要求：
熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；知道矩阵等价的概念。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 1.基本内容 定义与记号
初等行变换(ri?rj,ri?k,ri?krj),A与B行等价(A~B); 初等列变换(ci?cj,ci?k,ci?kcj),A与B列等价(A~B); 初等变换,A与B等价(A~B).
矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形F??cr?Er?00??. 0?m?n2.重点
矩阵的初等变换
对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换： (1) 交换矩阵的两行(列);
(2) 以一个非零的常数k乘矩阵的某一行(列); (3) 把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列). 3.例题与解题方法 参见PPT
本授课单元思考题、讨论题、作业： P79.1(1)(3)
授课题目（教学章节或主题）： 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.2 初等矩阵
本授课单元教学目标或要求：
知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法.
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 1.基本内容 初等矩阵
(1) 定义 单位阵经一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵.
(2) 对矩阵A作一次初等行(列)变换相当于用对应的初等矩阵左(右)乘A. (3) 初等变换及其逆变换与初等矩阵及其逆阵的对应可列表如下： 初等变换 初等矩阵 逆变换 逆矩阵
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ri?rj ci?cj ri?kci?kri?krj rE(i,j) E(i(k)) E(ij(k)) ri?rj ci?cj ri?kci?kri?krj E(i,j) 1E(i()) kE(ij(?k)) cj?kcicj?kci(4) 方阵A可逆?A~E
?A?PP12?Pl(Pi为初等矩阵)
A~B?存在可逆矩阵P,Q使B?PAQ.
(5) 若(A,B)~(E,X),则A可逆，且X?AB.特别地，若(A,E)~(E,X),则A可逆，且X?A. 2.重点、难点
对矩阵A作一系列初等行(列)变换，相当于用可逆矩阵左(右)乘A，由此引出用初等变换求逆阵的方法；
会用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩阵； 会用矩阵的初等行变换求矩阵方程的解. 3.例题与解题方法 例1 设
r?1r?1?a11a12a13a14??a14a13a12a11?????aaaaaaaa222324?232221?A??21,B??24 ?a31a32a33a34??a34a33a32a31?????aaaaaaaa424344?434241??41?44?0001??1000?????01000010??,P??? P1?2?0010??0100?????10000001?????1其中A可逆，则B等于
?1?1?1(A) A?1PP12 (B) P1AP2 (C) PP12A (D) P2AP1 分析：把矩阵A的1,4两列对换,2,3两列对换即得到矩阵B,根据初等矩阵的性质,有B?APP12或
?1?1?1?1?1?1B?AP2P?(AP?P1.那么B2P1)1P2A?PP12A.所以应选(C).
例2 设4阶矩阵
?1?100??2134?????01?100213?,C??? B???001?1??0021?????00010002?????1TT且矩阵A满足关系式A(E?CB)C?E,试将所给关系式化简,并求出矩阵A.
?1TTT?1解：由所给的矩阵关系得A[C(E?CB)]?E,即A(C?B)?E,故A?[(C?B)].用初等变换
T?1法求[(C?B)],由于
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?1?2T((C?B),E)???3??4?10?01???00??00故
0001000??1??1000100??0???02100010??3210001??0001000??1??00?2100??0?101?210??0??212?301??00001000??100?2100?210?3010??321?4001?
0001000??100?2100?0101?210??00101?21??100??210A?[(C?B)T]?1???1?21??01?2其他例题参见PPT
本授课单元思考题、讨论题、作业：
0??0? ?0?1?P79.3(2)4(1)
授课题目（教学章节或主题）： 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.3 矩阵的秩
本授课单元教学目标或要求：
1.理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩的原理，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。知道矩阵的标准形与秩的关系。
2.知道矩阵秩的基本性质。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 1.基本内容
矩阵的秩
(1) 定义 矩阵的k阶子式，矩阵的秩。
(2) R(A)?r?A的行阶梯形含r个非零行?A的标准形F??(3) 矩阵秩的性质
① 0?R(A)?min{m,n}; ② R(AT)?R(A);
③ 若A~B,则R(A)?R(B); ④ 若P,Q可逆，则R(PAQ)?R(A);
⑤ max{R(A),R(B)}?R(A,B)?R(A)?R(B); 特别地，当B为列向量b时，有
R(A)?R(A,b)?R(A)?1; ⑥ R(A?B)?R(A)?R(B); ⑦ R(AB)?min{R(A),R(B)};
⑧ 若Am?nBn?l?0,则R(A)?R(B)?n.
2.重点、难点
矩阵秩的概念，矩阵秩的性质，利用初等变换求秩，应用矩阵的秩解决问题。
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