1１．二维连续型随机变量(X,Y)的条件概率密度
设f(x,y)为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X在给定Y?y的条件下的条件概率密度为
fX|Y(x|y)?其中fY(y)?0；
f(x,y),???x???fY(y)，
Y在给定X?x的条件下的条件概率密度为
fY|X(y|x)?其中fX(x)?0．
1２．常用的二维连续型随机变量 (1) 均匀分布
f(x,y),???y???fX(x)，
如果(X,Y)在二维平面上某个区域G上服从均匀分布，则它的联合概率密度为
1?，（x,y)?G;?f(x,y)??G的面积?0,其余. ?22 (2) 二维正态分布N(?1,?2,?1,?2,?)
如果(X,Y)的联合概率密度
f(x,y)?12??1?2??(x??1)2(x??1)(y??2)(x??1)2??1??exp???2????2?2222(1??)?????1???1121????则
2(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?).
称(X,Y)服从二维正态分布，并记为
2222(X,Y)~N(?,?,?,?,?)X~N(?,?)Y~N(?,?121211，22)，即二维正态分布的 如果，则
边缘分布还是正态分布．
1３．随机变量的相互独立性 ．
如果X与Y的联合分布函数等于X,Y的边缘分布函数之积，即
F(x,y)?FX(x)FY(y),对一切???x,y???，
那么，称随机变量X与Y相互独立．
设(X,Y)为二维连续型随机变量，则X与Y相互独立的充分必要条件为
f(x,y)?fX(x)fY(y),在一切连续点上. 22 如果(X,Y)~N(?1,?2,?1,?2,?)．那么，X与Y相互独立的充分必要条件是??0．
多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维随机变量的联合分布函数等于每个随机变量的边缘分布函数之积，多维连续型随机变量的独立性有与二维相应的结论． 1４．随机变量函数的分布
（１）一维随机变量函数的概率密度
设连续型随机变量X的概率密度为fX(x)，则随机变量Y?g(X)的分布函数为
FY(y)?P(Y?y)?P(g(X)?y)?P(X?Iy)?Iy?fX(x)dx
第 41 页，共 46 页
{X?Iy}与{g(X)?y}是相等的随机事件，其中，而Iy?{x||g(x)?y}是实数轴上的某个集合．随
机变量Y的概率密度fY(y)可由下式得到：
fY(y)?FY'(y)．
连续型随机变量函数有下面两条性质：
(i) 设连续型随机变量的概率密度为fX(x)，Y?g(X)是单调函数，且具有一阶连续导数，
x?h(y)是y?g(x)的反函数，则Y?g(X)的概率密度为
fY(y)?f(h(y))?|h'(y)|．
(ii) 设X~N(?,?)，则当k?0时，有Y?kX?b~N(k??b,k22?2)，特别当
k?1?,b???X??~N(0,1)Y?kX?b~N(0,1)?时，有，?．
（２）二维随机变量函数的概率密度
设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则随机变量函数Z?g(X,Y)的分布函数为
FZ(z)?P(Z?z)?P(g(X,Y)?z)?P((X,Y)?DZ)???f(x,y)dxdyDZ,
其中，{(X,Y)?DZ}是与{g(X,Y)?z}等价的随机事件，而DZ?{(x,y):g(x,y)?z}是二维平面上的某个集合(通常是一个区域或若干个区域的并集)． 随机变量函数Z?g(X,Y)的概率密度为
fZ(z)?FZ'(z).
当X与Y相互独立，且X的概率密度为fX(x),Y的概率密度为fY(y)时，随机变量函数Z?X?Y的概率密度为
fZ(z)??或 Z以上两个公式也称为卷积公式．
????fX(x)fY(z?x)dx．
,
f(z)??????fX(x)fY(z?x)dx 当X与Y相互独立，且X的分布函数为FX(x),Y的分布函数为FY(y)时，随机变量函数
Z?max(X,Y)的分布函数为
FZ(z)?FX(z)FY(z)，
随机变量函数W?max(X,Y)的分布函数为
FW(w)?1?(1?FX(w))(1?FY(w))．
通过求导，可以求得Z,W的概率密度． 特别有下面的结论：
2222X~N(?,?)Y~N(?,?)X?Y~N(???,???)． 11221212 设，，且X与Y相互独立，则
三、思考题
１．设随机变量(X,Y)的概率密度为
第 42 页，共 46 页
求P(X?3Y).
?xye?(x?y),x?0,y?0,f(x,y)??其它. ?0, ２．若X与Y为相互独立的分别服从[0,1]上均匀分布的随机变量，试求Z?X?Y的分布密度函
数．
第四章 随机变量的数字特征
一、教学要求
1．理解随机变量的数学期望、方差的概念，并会运用它们的基本性质计算具体分布的期望、方差，
2．掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望和方差．
3．会根据随机变量X的概率分布计算其函数g(X)的数学期望E[g(X)]；会根据随机变量
(X,Y)的联合概率分布计算其函数g(X,Y)的数学期望正E[g(X,Y)]．
4．理解协方差、相关系数的概念，掌握它们的性质，并会利用这些性质进行计算，了解矩的概念。
本章重点：随机变量的期望。方差、协方差、相关系数的计算．
二、知识要点 1．数学期望
设X是离散型的随机变量，其概率函数为
如果级数
?apiiP(X?ai)?pi,i?1,2,?,
绝对收敛，则定义X的数学期望为
iE(X)??aipii；
设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，如果广义积分的数学期望为
?????xf(x)dx绝对可积，则定义XE(X)??xf(x)dx????．
2．随机变量函数的数学期望
设X为离散型随机变量，其概率函数
如果级数
?g(a)piiP(X?ai)?pi,i?1,2,?,
绝对收敛，则X的函数g(X)的数学期望为
iE[g(X)]??g(ai)pii 设(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合概率函数
如果级数
??jiP(X?ai,Y?bj)?pij,i,j?1,2,?,
g(ai,bj)pij绝对收敛，则(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望为
E[g(X,Y)]???g(ai,bj)pijji；
第 43 页，共 46 页
特别地
E(X)???aipij;E(Y)???bjpijiiji.
设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，如果广义积分 的函数g(X)的数学期望为
???????g(x)f(x)dx绝对收敛，则XE[g(X)]??g(x)f(x)dx??．
设(X,Y)为二维连续型随机变量，其联合概率密度为f(x,y)，如果广义积分
??????????g(x,y)f(x,y)dxdy绝对收敛，则(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望为
E[g(x,y)]??特别地
?????????g(x,y)f(x,y)dxdy,
；
E(x)???????????xf(x,y)dxdyE(Y)?? 3．数学期望的性质
(1) E(c)?c (其中c为常数)；
?????????yf(x,y)dxdy.
(2) E(kX?b)?kE(X)?b (k,b为常数)； (3) E(X?Y)?E(X)?E(Y)；
(4) 如果X与相互独立，则E(XY)?E(X)E(Y). 4．方差与标准差
随机变量X的方差定义为
D(X)?E[X?E(X)]2．
计算方差常用下列公式：
D(X)?E(X2)?[E(X)]2’
当X为离散型随机变量，其概率函数为
如果级数
?(a?E(X))iiP(X?ai)?pi,i?1,2,?,
2pi收敛，则X的方差为
D(X)??(ai?E(X))2pii；
当X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，如果广义积分X的方差为
?????(x?E(X))2f(x)dx收敛，则
D(X)??(x?E(x))2f(x)dx????.
随机变量X的标准差定义为方差D(X)的算术平方根D(X). 5．方差的性质
(1) D(c)?0 (c是常数)； (2) D(kX)?kD(X) (k为常数)；
(3) 如果X与Y独立，则D(X?Y)?D(X)?D(Y). 6．协方差
第 44 页，共 46 页
2 设(X,Y)为二维随机变量，随机变量(X,Y)的协方差定义为
cov(X,Y)?E[(X?E(X))(Y?E(Y))]．
计算协方差常用下列公式：
cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)．
当X?Y时，cov(X,Y)?cov(X,X)?D(X)． 协方差具有下列性质：
(1) cov(X,c)?0 (c是常数)； (2) cov(X,Y)?cov(Y,X)；
(3) cov(kX,lY)?klcov(X,Y) (k,l是常数)； (4) cov(X1?X2,Y)?cov(X1,Y)?cov(X2,Y) 7．相关系数
随机变量(X,Y)的相关系数定义为
?XY?cov(X,Y)D(X)D(Y)
相关系数?XY反映了随机变量X与Y之间线性关系的紧密程度，当|?XY|越大，X与Y之间的线性相关程度越密切，当?XY?0时，称X与Y不相关． 相关系数具有下列性质： (1) |?XY|?1；
(2) |?XY|?1的充要条件是P(Y?aX?b)?1，其中a,b为常数；
(3) 若随机变量X与Y相互独立，则X与Y不相关，即?XY?0，但由?XY?0不能推断X与Y独立．
(4) 下列5个命题是等价的： ． (i)
?XY?0；
(ii) cov(X,Y)?0； (iii) E(XY)?E(X)E(Y)； (iv) D(X?Y)?D(X)?D(Y))； (v) D(X?Y)?D(X)?D(Y)． 利用协方差或相关系数可以计算
(?)DY(?) D(X?Y)?DX 8．原点矩与中心矩
2cXovY(?D,X)?D(Y)??(XXY)D2kDY(．)
() 随机变量X的k阶原点矩定义为E(X)；
随机变量X的k阶中心矩定义为E[(X?E(X))]]； 随机变量(X,Y)的(k,l)阶混合原点矩定义为E(XY)；
随机变量(X,Y)的(k,l)阶混合中心矩定义为E[(X?E(X))(Y?E(Y))]． 一阶原点矩是数学期望E(X)；
二阶中心矩是方差D(X)；
klklkcov(X,Y). ) (1,1阶混合中心矩为协方差
9．常用分布的数字特征
第 45 页，共 46 页
(1) 当X服从二项分布B(n,p)时，
E(X)?np,D(X)?np(1?p)．
(2) 当X服从泊松分布p(?)时，
E(X)??,D(X)??，
(3) 当X服从区间(a,b)上均匀分布时，
(4) 当X服从参数为?的指数分布时，
a?b(b?a)2E(X)?,D(X)?212
E(X)?1,D(X)?1??2
(5) 当X服从正态分布N(?,?)时，
2E(X)??,D(X)??2．
22N(?,?,?,?(X,Y)1212,?)时， (6) 当服从二维正态分布
E(X)??1,D(X)??12；
E(Y)??2,D(Y)??22；
10．分位数
cov(X,Y)???1?2,?XY??
设X为任意一个随机变量，对于0?p?1，如果实数c满足
P(X?c)?p且P(X?c)?1?p，
则称c是X（或X所服从的分布）的p分位数，记作vp．当
vpp?
1
2时，称v1/2为中位数．
对连续型随机变量X，记其密度函数为f(x)，如果X的值域是某个区间，则
三、思考题
2k???f(x)dx?p.
１．设X~N(?,?)，求E|X??|．
２．设X的密度函数为
?x?x2/2a2,x?0,?ef(x)??a2(a为正常数）?0,x?0.?
记
Y?1X，求Y的数学期望E(Y).
1 3. 一学徒工用车床接连加工10个零件，设第i个零件报废的概率为i?1(i?1,2,?,10)，求报
废零件个数的数学期望.
第 46 页，共 46 页