§3． 向量组的秩
本授课单元教学目标或要求：
一、掌握最大无关组与向量组的秩的概念． 二、掌握求向量组的秩的方法
三、掌握求向量组的最大无关组的方法
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 一、最大线性无关向量组的概念．（定义5） 二、矩阵与向量组秩的关系 三、向量组秩的重要结论：
1．m维向量组?1，?2，?，?n线性无关的充分必要条件：
向量组?1，?2，?，?n线性无关 ? 对于任何一组不全为零的数组k1，k2，?，kn都有k1?1+ k2?2 + ?+ kn?n ? 0 ? 对于任一个?（都不能由其余向量线性表示 ? AX = 0只有零解 ? 秩i1≤i≤n）（A）= n，其中A =（?1，?2，?，?n ）．
2．m维向量组?1，?2，?，?n线性相关的充分必要条件：
向量组?1，?2，?，?n线性相关 ? 存在一组不全为零的数组k1，k2，?，kn，使得k1?1+ k2?2 + ?+ kn?n ? 0 ? 至少存在一个?（使得?i可由其余向量线性表示 ? AX=0有非零解 ? 秩i1≤i≤n）（A）? n，其中A =（?1，?2，?，?n ）． 3．线性相关向量组的几个结论：
（1） 设?1，?2线性相关，则?1，?2，?3必线性相关（反之不一定对）； （2） 含有零向量的向量组必线性相关（反之不一定对）； （3） 若向量个数 ? 向量维数，则向量组必线性相关． 4．列向量组?1，?2，?，? t可由?1，?2，?，?s线性表示．则 （1）若t ? s，则?1，?2，?，? t线性相关； （2）若?1，?2，?，? t线性无关，则t ≤ s；
重点（难点）：
１． 最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性．
２． 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩 ３． 关于向量组秩的一些结论：一个定理、三个推论．
４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换．
本授课单元教学手段与方法：讲授、练习。
本授课单元思考题、讨论题、作业：P109：13、14、15、16、17
授课题目（教学章节或主题）： 第四章 向量组的线性相关性 §4． 线性方程组的解的结构
本授课单元教学目标或要求： 一、理解基础解系的概念。
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二、掌握齐次线性方程组基础解系的求法。 三、掌握非齐次线性方程组解的求法
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 一、齐次线性方程组解的性质（性质１、性质２、定理7）
线性齐次方程组AX = 0（A是m ? n矩阵）解的性质：
（1）设X1，X2是AX = 0的两个解，则k1X1+ k2X2也是AX = 0的解，其中k1，k2为两个任意数； （2）零解X = 0总是AX = 0的解；AX = 0有非零解 ? 秩（A）? n；AX = 0只有零解 ? 秩（A）= n = A的列数；若A是n阶矩阵，则AX = 0有非零解? | A | = 0，AX = 0只有零解 ? | A |≠0 ； 二、基础解系及其求法
（1）基础解系定义；掌握判断一组向量?1，?2，?，?p是AX = 0的基础解系的三点； （2）设秩（A）= r，则
① AX = 0的基础解系中含有n - r个向量X1，X2，?，Xn?r； ② AX = 0的通解（一般解）是
k1X1 + k2X2 +?+kn?rXn?r
其中k1，k2，?，kn?r是任意常数；
③ AX = 0的任何n? r个线性无关的解都是AX = 0的基础解系．
三、非齐次线性方程组解的性质及求法 线性非齐次方程组AX = ?，（? ? 0）
（1） AX = ? 的导出组AX = 0两者之间关系：
若AX = ? 有惟一解，则AX = 0只有零解（惟一解）；若AX = ? 有无穷多组解，则AX = 0有非零解（无穷多组解）．
若AX = 0只有零解（有非零解），不能简单地判断AX = ? 有惟一解（有无穷多组解），而需要其它条件才能判断．
（2） 设X1，X2是AX = ? 的解，则X1? X2是导出组AX = 0的解；
（3） 设秩（A）= 秩（A ?）= r，则AX =? 的通解：?+ k1X1+ k2X2 + ? + kn?rXn?r，其中X1，
X2，?，Xn?r是导出组AX = 0的基础解系，?是AX = ? 的一个特解．
（4）
设X1，X2是AX = ? 的两个解，则X1 + X2，? X1（?≠1）肯定不是AX = ? 的解．
重点（难点）：
1． 线性相关性在线性方程组中的应用； 2． 基础解系的求法
本授课单元教学手段与方法：讲授、练习。
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本授课单元思考题、讨论题、作业：P110：22、28、29、33、35
授课题目（教学章节或主题）： 第四章 向量组的线性相关性
§5． 向量空间；
第四章习题课
本授课单元教学目标或要求：
一、掌握向量空间（基和维数）的概念． 二、掌握子空间的概念．
三、掌握由向量组生成的向量空间．
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 一、向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭； 二、由向量组生成的向量空间．
三、向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式). 四、习题课
重点（难点）：
１．向量空间的概念：
向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间． ２．子空间的概念．
３．向量空间的基和维数：求向量空间基和维数的方法．
本授课单元教学手段与方法：讲授、练习
本授课单元思考题、讨论题、作业：P112：36、39、40
授课题目（教学章节或主题）：第五章 相似矩阵及二次型
§1． 向量的内积、长度及正交性 §2． 方阵的特征值与特征向量
本授课单元教学目标或要求：
一．了解向量的内积、长度及正交性的概念
二．掌握方阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 一．内积的定义及性质 二．向量的长度及性质
三．正交向量组的概念及求法
基本概念：矩阵的特征值，特征向量，特征矩阵，特征多项式． 四．正交矩阵与正交变换 五．特征值与特征向量的概念 六．特征值和特征向量的性质
（1）设X1，X2都是A的属于特征值 ?0的特征向量，则k1X1+ k2X2也是属于?0的特征向量（其
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中，k1，k2为任意常数，且k1X1+ k2X2 ? 0）．
若X1，X2是A的属于两个不同特征值?1，?2的特征向量，则X1+X2不是A的特征向量． （2）
i?1??i?a11?a22???ann?tr?A?
n ?1?2??n =|A|
（3）命题：n阶矩阵A可逆 ? A满秩 ? A非奇异 ? ? A ? ? 0 ? A无零特征值． （4）设?是A的特征值，X是A的属于?的特征向量，则 ① k?是kA的特征值，X是kA的属于k?的特征向量；
② ?m是Am的特征值（m为正整数），X是Am的属于?m的特征向量； ③ 若f(x)?amxm?am?1xm?1???a1x?a0，则f（?）是矩阵多项式f（A）的特征值，
X是f（A）属于f（?）的特征向量．
（5）若?是可逆矩阵A的特征值，X是A的属于?的特征向量，则 ①
1?A是A?1的特征值，X是A?1的属于
1?的特征向量；
②
?是A?的特征值，X是A?的属于
A?的特征向量．
（6）A与AT的特征多项式，特征值相同．
（7）定理：A的不同特征值所对应的特征向量是线性无关的．
七．特征值与特征向量的求法
重点（难点）：
1．将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化． 2．A为正交矩阵的充要条件；
3．求矩阵特征值与特征向量的步骤。
本授课单元教学手段与方法：讲授、练习
本授课单元思考题、讨论题、作业：P137：1、3、4、5、7、11。
授课题目（教学章节或主题）：第五章 相似矩阵及二次型 *§3．相似矩阵
*§4．对称矩阵的对角化
本授课单元教学目标或要求：
一、掌握相似矩阵与相似变换的概念
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二、掌握相似矩阵与相似变换的性质
三、掌握利用相似变换将方阵对角化的方法 四、掌握对称矩阵的性质
五、掌握利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质
三、利用相似变换将方阵对角化的方法 四、对称矩阵的性质
五、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法
重点（难点）： １．相似矩阵
相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： （1）A与B相似，则det(A)?det(B)
（2）若A与B相似，且A可逆，则B也可逆，且B相似； （3）若A与B相似，则kA与kB相似，k为常数。
（4）若A与B相似，而f(x)是一多项式，则f(A)与f(B)相似
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成PAP，而可逆矩阵P称为进行这一变换的相似变换矩阵．这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算． 2. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数；
(2)属于不同特征值的特征向量正交；
(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；
(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值． 3. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：
(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化．
§5． 二次型及其标准形 第五章习题课
本授课单元教学目标或要求： 一、掌握二次型及其标准形的概念 二、掌握二次型的表示方法 三、掌握二次型的矩阵及秩 四、掌握化二次型为标准形 五、习题课
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形
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