3.例题与解题方法 例1.设三阶矩阵A为
?x11??? A??1x1?
?11x???试求秩R(A)
[分析] 矩阵A含有参数x,因此其秩一般随x的变化而变化，讨论其秩主要从两点着手分析：矩阵秩
的行列式定义和初等变换不改变矩阵的秩。
解: 方法一 直接从矩阵秩的行列式定义出发讨论
x11由于 1x1?(x?2)(x?1)2 11x故
① 当x?1且x??2时, |A|?0,R(A)?3;
?111???② 当x?1时, |A|?0,且A??111?,R(A)?1;
?111???1???21?21??③ 当x??2时, |A|?0,且A??1?21?,这时有二阶子式?0.因此R(A)?2.
1?2?11?2???方法二 利用初等变换求秩
?x1?A??1x?11??1???0?0?1??11x??11x??????1???1x1???0x?11?x?2????x???x11??x1?x1?x?
1x??x?11?x?0?(x?2)(x?1)??因此
① 当x?1且x??2时, R(A)?3; ② 当x?1时, R(A)?1; ③ 当x??2时, R(A)?2. 例2. 设A为5?4矩阵
?12??2?1A??01??1?1?20?且A的秩为3,求k.
解: 方法一 用初等变换
31??k2?13?
?04?25?? 第 21 页，共 46 页
?12??2?1A??01??1?1?20?31??123??k2??0?5k?613???011??04??0?3?3?25???0?4?42100031??0?3??3?3??31??1?12???0113???0??00k?115???0???00012???0?00?015????0可见, R(A)?3,则必有k?1?0,即k?1. 方法二 因为A的秩为3,故其4阶子式
12311??13?k?115??01?00??
2?1k2?0
01131?104解得k?1.
例3. 设A为n阶矩阵A的伴随矩阵,证明
*
?n,R(A)?n,?R(A*)??1,R(A)?n?1,
?0,R(A)?n?1.?证明:
①已知R(A)?n,则A可逆,|A|?0,由AA*?|A|E知A可逆,所以R(A*)?n.
②若R(A)?n?1,则A|A|?0,由AA*?|A|E?0,R(A)?R(A*)?n,R(A*)?n?R(A)?1,又R(A)?n?1,由矩阵秩的行列式定义有,矩阵A至少有一个n?1阶子式不为零,那么矩阵A中至少有一个元素非零,所以R(A*)?1,从而有R(A*)?1.
③若R(A)?n?1,则A的任一n?1阶子式为零,故A?0,所以R(A*)?0. 本授课单元思考题、讨论题、作业： P79.9(2)(3)
授课题目（教学章节或主题）： 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.4 线性方程组的解
本授课单元教学目标或要求：
1.理解线性方程组无解,有唯一解或有无限多个解的充分必要条件(包括非齐次线性方程组有解的充分必要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件).
2.熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法。 3.知道矩阵方程AX?B有解的充要条件。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 1.基本内容
(1) 线性方程组的解法
第 22 页，共 46 页
**
*
[1] 基本定理 n元线性方程组Ax?b.
① 无解的充分必要条件是R(A)?R(A,b);
② 有唯一解的充分必要条件是R(A)?R(A,b)?n;
③ 有无限多解的充分必要条件是R(A)?R(A,b)?n.
[2] 求解线性方程组的步骤(见教材) (2) 重要定理
定理1 线性方程组Ax?b有解的充分必要条件是R(A)?R(A,b).
定理2 n元齐次线性方程组Am?nx?0有非零解的充分必要条件是R(A)?n. 把定理1推广到矩阵方程，得
定理3 矩阵方程AX?B有解的充要条件是R(A)?R(A,B). 2.重点、难点
根据增广矩阵的行最简形熟练写出线性方程组的通解； 线性方程组的基本定理。 3.例题与解题方法 例1 求方程组的通解
?x1?x2?x3?x4?1??2x1?x2?4x3?5x4?6 ?x?2x?3x?4x?5234?1解：对增广矩阵作初等行变换得
?1?1111??1?1111?????(A,b)??21456???03234??12345??03234?????57??102 ?1?1111??33?
????24??24???011?011?33??33??00000??00000?????????原方程组化为
75?x??x?2x4??1333 ?42?x??x?x234?33?74T取自由未知量x3?x4?0,得特解为?0?(,,0,0),对应原方程的齐次方程组为
335?x??x3?2x4??13 ?
2?x??x?x234?3??x3??1??0?令?????,??得基础解系为 ?x4??0??1?52?1?(?,?,1,0)T,?2?(?2,?1,0,1)T,故原方程的通解为
33
第 23 页，共 46 页
?7??5??3???3???2????????1??4???2?? x??0?k1?1?k2?2????k1??k33?2?0???????01?????1??0??0?????其中k1,k2为任意常数 例2. 设
?x1?x2?kx3?4?2 ??x1?kx2?x3?k
?x?x?2x??43?12问方程组什么时候有解？什么时候无解？有解时，求出相应的解。
解 方法一 方程组的系数行列式
1 |A|??11k1k1?(1?k)(4?k) ?12当|A|?(1?k)(4?k)?0即k??1,4时，方程组有唯一解，且唯一解为(按克莱姆法则)
k2?2kk2?2k?4?2k,x2?,x3? x1? k?1k?1k?1k??1时，方程组为
?x1?x2?x3?4???x1?x2?x3?1 ?x?x?2x??43?12此时
?11?14??11?14?????(A,b)???1?111???02?38?
?1?12?4??0005?????R(A)?2?R(A,b)?3,方程组无解。 k?4时，方程组为
?x1?x2?4x3?4???x1?4x2?x3?16 ?x?x?2x??43?12?1144??1144??1030???????(A,b)???14116???0114???0114?
?1?12?4??0000??0000????????x?3x3?0R(A)?R(A,b)?2?3,故方程组有无穷多解，其同解方程组为?1，通解为
?x2?x3?4?x1??0???3???????x??x2???4??C??1?,其中C为任意常数
?x??0??1??3?????
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本授课单元思考题、讨论题、作业：P80.12(2),13(3)
授课题目（教学章节或主题）： 第四章 向量组的线性相关性 §1． 向量组及其线性组合 §2． 向量组的线性相关性 本授课单元教学目标或要求： 一、了解n维向量空间的概念．
二、掌握线性组合的概念，掌握一向量由一个向量组线性表示的充要条件．
三、掌握线性相关和线性无关的概念，能够利用定义及一些有关判定定理证明或判定一组向量的线 性关系．
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 一、向量组及其线性组合（定义１、定义２、定义3、定理1、定理2、定理3） 二、n维向量的表示方法 三、向量空间
四、向量、向量组与矩阵
五、线性相关性的概念（定义4）
六、线性相关性的判定(定理4、定理5）
向量 ? 可由（不可由）?1，?2，?，?n线性表示的主要结论：
（1）若? = k1?1+ k2?2 + ?+kn?n（ki为实数），则说 ? 可由?1，?2，?，?n线性表示． 命题：? 可由向量组?1，?2，?，?n线性表示 ? 方程组AX = ? 有解，其中A =（?1，?2，?，?n ）? 秩（A）= 秩（A，? ）．
推论1：? 可由?1，?2，?，?n线性表示，且表达式是惟一的 ? 方程组AX = ? 有惟一解 ? 秩（A）= 秩（A，?）= n ? ?1，?2，?，?n线性无关，?1，?2，?，?n ，?线性相关．
推论2：? 可由?1，?2，?，?n线性表示，且表达式是不惟一的 ? 秩（A）= 秩（A，?）? n． （2）若对于任何一组数k1，k2，?，kn都有 ? ? k1?1+ k2?2 + ? + kn?n 则说 ? 不可由?1，?2，?，?n线性表示．
命题：? 不可由?1，?2，?，?n线性表示 ? 方程组AX = ? 无解 ? 秩（A）? 秩（A，?），其中A =（?1，?2，?，?n ）．
七、线性相关性在线性方程组中的应用
重点（难点）：
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； ２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点） ３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点） 本授课单元教学手段与方法：讲授、练习。
本授课单元思考题、讨论题、作业：. P108： 2、3、4、5、6、7、8、11、12、20 授课题目（教学章节或主题）： 第四章 向量组的线性相关性
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