1、（略）
2、（2014?孝感）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）求证：△PCF是等腰三角形； （3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．
解答： 解：（1）∵PD切⊙O于点C， ∴OC⊥PD． 又∵AD⊥PD， ∴OC∥AD． ∴∠ACO=∠DAC． 又∵OC=OA， ∴∠ACO=∠CAO， ∴∠DAC=∠CAO， 即AC平分∠DAB． （2）∵AD⊥PD， ∴∠DAC+∠ACD=90°． 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠PCB+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠PCB． 又∵∠DAC=∠CAO， ∴∠CAO=∠PCB． ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACF=∠BCF， ∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF， ∴∠PFC=∠PCF， ∴PC=PF， ∴△PCF是等腰三角形． （3）连接AE． ∵CE平分∠ACB， ∴=， ∴． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P， ∴△PAC∽△PCB， ∴． ． 又∵tan∠ABC=， ∴∴， ． 设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7， ∵PC+OC=OP， ∴（4k）+7=（3k+7）， ∴k=6 （k=0不合题意，舍去）． ∴PC=4k=4×6=24． 3、（2015?黄陂区校级模拟）如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连接AC、FC． （1）求证：∠ACF=∠ADB；
（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长； （3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，其值；若发生变化，请说明理由．
的值是否发生变化？若不发生变化，请求出
222222
解答： （1）证明：连接AB， ∵OP⊥BC， ∴BO=CO， ∴AB=AC， 又∵AC=AD， ∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， 又∵∠ABD=∠ACF，
∴∠ACF=∠ADB． （2）解：过点A作AM⊥CF交CF的延长线于M，过点A作AN⊥BF于N，连接AF， 则AN=m， ∴∠ANB=∠AMC=90°， 在△ABN和△ACM中 ， ∴Rt△ABN≌Rt△ACM（AAS） ∴BN=CM，AN=AM， 又∵∠ANF=∠AMF=90°， 在Rt△AFN和Rt△AFM中 ， ∴Rt△AFN≌Rt△AFM（HL）， ∴NF=MF， ∴BF+CF=BN+NF+CM﹣MF， =BN+CM=2BN=n， ∴BN=， ∴在Rt△ABN中，AB=BN+AN=m+在Rt△ACD中，CD=AB+AC=2AB=2m+∴CD= （3）解：的值不发生变化， 222222222=m+， 2， ． 过点D作DH⊥AO于N，过点D作DQ⊥BC于Q， ∵∠DAH+∠OAC=90°，∠DAH+∠ADH=90°， ∴∠OAC=∠ADH， 在△DHA和△AOC中 ， ∴Rt△DHA≌Rt△AOC（AAS）， ∴DH=AO，AH=OC， 又∵BO=OC， ∴HO=AH+AO=OB+DH， 而DH=OQ，HO=DQ， ∴DQ=OB+OQ=BQ， ∴∠DBQ=45°，
又∵DH∥BC， ∴∠HDE=45°， ∴△DHE为等腰直角三角形， ∴∴==， ． 4、（2013?成都模拟）已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中
点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=（1）求证：AM?MB=EM?MC； （2）求sin∠EOB的值；
（3）若P是直径AB延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE是⊙O的切线．
．
解答： 解：（1）连接AE，BC， ∵∠AEC与∠MBC都为所对的圆周角， ∴∠AEC=∠MBC，又∠AME=∠BMC（对顶角相等）， ∴△AME∽△CMB， ∴AM：CM=EM：MB，即AM?MB=EM?MC； （2）如图，∵DC为⊙O的直径， ∴DE⊥EC， ∵DC=8，DE=∴EC=， ==7， 设EM=x，由于M为OB的中点， ∴BM=2，AM=6， ∴AM?MB=x?（7﹣x），即6×2=x（7﹣x）， 整理得：x﹣7x+12=0， 解得：x1=3，x2=4， ∵EM＞MC，∴EM=4， ∵OE=EM=4， ∴△OEM为等腰三角形， 过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=OM=1， ∴EF===， 2
∴sin∠EOB=； ，PF=FB+BP=3+12=15， ==4， （3）在Rt△EFP中，EF=根据勾股定理得：EP=又OE=4，OP=OB+BP=4+12=16， ∴OE+EP=16+240=256，OP=256， ∴OE+EP=OP， ∴∠OEP=90°， 则EP为圆O的切线． 5、（2012?杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3（1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R； （3）点F在⊙O上（
是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它
，MN=2
．
222222的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．
解答： 解：（1）∵AE切⊙O于点E， ∴AE⊥CE，又OB⊥AT， ∴∠AEC=∠CBO=90°， 又∠BCO=∠ACE， ∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°， ∴∠COB=∠A=30°； （2）∵AE=3，∠A=30°， ，即EC=AEtan30°=3， ， ∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=∵OB⊥MN，∴B为MN的中点，又MN=2∴MB=MN=， ， 连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=∴OB==， 在△COB中，∠BOC=30°，