∵cos∠BOC=cos30°=∴BO=∴OC=OC， OB==， ， 又OC+EC=OM=R， ∴R=2+3， 整理得：R+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0， 解得：R=﹣23（舍去）或R=5， 则R=5； （3）以EF为斜边，有两种情况，以EF为直角边，有四种情况，所以六种， 画直径FG，连接EG，延长EO与圆交于点D，连接DF，如图所示： ∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°， ∴FD=5， =15+5， ， 则C△EFD=5+10+5由（2）可得C△COB=3+∴C△EFD：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1． ∵EF=5，直径FG=10，可得出∠FGE=30°， ∴EG=5， =15+5， ）：（3+）=5：1． 则C△EFG=5+10+5∴C△EFG：C△COB=（15+56、（2011?潍坊）如图，AB是半圆O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q． （1）求证：△ABC∽△OFB；
（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长； （3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点．
． 解答： （1）证明：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°，即：AC⊥BC， 又OE⊥BC， ∴OE∥AC， ∴∠BAC=∠FOB， ∵BN是半圆的切线， ∴∠BCA=∠FBO=90°， ∴△ABC∽△OFB． （2）解：由△ACB∽△OBF得，∠OFB=∠DBA，∠BCA=∠FBO=90°， ∵AM、BN是⊙O的切线， ∴∠DAB=∠OBF=90°， ∴△ABD∽△BFO， ∴当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO， ∴AD=OB=1， ∵DP切圆O，DA切圆O， ∴DP=DA， ∵△ABD≌△BFO， ∴DA=BO=PO=DP， 又∵∠DAO=∠DPO=90°， ∴四边形AOPD是正方形， ∴DQ∥AB， ∴四边形ABQD是矩形， ∴BQ=AD=1； （3）证明：由（2）知，△ABD∽△BFO， ∴=， ==， ∴BF=∵DP是半圆O的切线，射线AM、BN为半圆O的切线， ∴AD=DP，QB=QP， 过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，
DQ=QK+DK， 222∴（AD+BQ）=（AD﹣BQ）+2． ∴BQ=， 222∴BF=2BQ， ∴Q为BF的中点． 专题二、三角函数在圆中的应用
1、（2014成都）如图，在圆O的内接ΔABC中，∠ACB=90°，AC=2BC,过C作AB的垂线l交圆O于另一点D，垂足为E，P为弧⌒AC上异于A、C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB与点C。 （1）求证：ΔPAC∽ΔPDF；
⌒（2）若AB=5，⌒AP=BP，求PD的长；
（3）在点P运动过程中，设写出x的取值范围）
AG?x，tan∠AFD=y，求y与x之间的函数关系式。（不要求BG
解：（1）同弧所对的圆周角相等∠PAC=∠PDC,∠AFD=∠ABP=∠ACP,∴ΔPAC∽ΔPDF；
⌒（2）⌒AP=BP且AB为直径；∴ΔAPB为等腰直角三角形；
又∵AB=5，AC=2BC；∴AC?25,BC?5；AP?BP?52； 2∴由射影定理可得DE=CE=2，BE=1，AE=4；
又∵∠APB=∠AEF=90°；∴∠AFE=∠ABP=45°；∴FE=AE=4；
5225APAC310?由（1）的相似可得,即2?,∴PD?。
PD6PDFD2（3）如图，过点G作GH┴PB于点H，
GH?y?tan?AFD?tan?ABP???HB∵?； ?x?AG?PH?BGHB?∴
yGHHBGH????tan?HPG； xHBPHPH⌒又∵⌒AP=BP；∴∠HPG=∠CAB；
∴
y1?tan?CAB? x21x. 2∴y与x之间的函数关系式为y?2、（2012?襄阳）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．
解答： 解：（1）连接OB， ∵PB是⊙O的切线， ∴∠PBO=90°， ∵OA=OB，BA⊥PO于D， ∴AD=BD，∠POA=∠POB， 又∵PO=PO， ∴△PAO≌△PBO（SAS）， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∴OA⊥PA， ∴直线PA为⊙O的切线． （2）EF=4OD?OP． 证明：∵∠PAO=∠PDA=90° ∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°， ∴∠OAD=∠OPA， 2
∴△OAD∽△OPA， ∴=，即OA=OD?OP， 2又∵EF=2OA， ∴EF=4OD?OP． （3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6， ∴OD=BC=3（三角形中位线定理）， 设AD=x， ∵tan∠F=， ∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3， 在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）=x+3， 解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）， ∴AD=4，OA=2x﹣3=5， ∵AC是⊙O直径， ∴∠ABC=90°， 又∵AC=2OA=10，BC=6， ∴cos∠ACB=22222=． ∵OA=OD?OP， ∴3（PE+5）=25， ∴PE=． 3、（2014?武侯区校级自主招生）如图，⊙O与直线PC相切于点C，直径AB∥PC，PA交⊙O于D，BP交⊙O于E，DE交PC于F． （1）求证：PF=EF?FD；
（2）当tan∠APB=，tan∠ABE=，AP=
时，求PF的长；
2
（3）在（2）条件下，连接BD，判断△ADB是什么三角形？并证明你的结论．