∵∠PDA=∠ADB=∠E
∴∠PDA+∠ADE=90°即PD⊥DO ∴PD与圆O相切于点D (2) ∵tan∠ADB=
34
∴可设AH=3k,则DH=4k ∵PA?43?3AH3
∴PA=(43?3)k ∴PH=43k
∴∠P=30°，∠PDH=60°
∴∠BDE=30°
连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50 ∴BD=DE·cos30°=253
(3)由（2）知，BH=253-4k，∴HC=
2又∵PD?PA?PC
4(253-4k) 32∴(8k)?(43?3)k?[43k?4(253?4k)] 3解得k=43?3 ∴AC=3k?4(253?4k)?243?7 3∴S=
111753 BD?AC??253?(243?7)?900?22212x?2x?1 228．（1）y??（2）M的坐标是（1-5，-5-2）、（1+5，5-2）、（4，-1）、（2，-3）、（-2，-7）
（3）
PQ10的最大值是/
NP?BQ52、（2013?钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．
（1）求⊙O的半径OD； （2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
解答： 解：（1）∵AB与圆O相切， ∴OD⊥AB， 在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD=∴OD=3； （2）连接OE， ∵AE=OD=3，AE∥OD， ∴四边形AEOD为平行四边形， ∴AD∥EO， ∵DA⊥AE， ∴OE⊥AC， 又∵OE为圆的半径， ∴AE为圆O的切线； （3）∵OD∥AC， ∴=，即=， =， ∴AC=7.5， ∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5， ∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG =×2×3+×3×4.5﹣=3+=﹣ ． 3略 4略 5略 6略
专题五、中点在圆中的应用、 1、略
2、（2014?长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E． （1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．
解答： （1）证明：连接OD， ∵D是BC的中点，OA=OB， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∴DE⊥AC； （2）解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵DE⊥AC， ∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°， ∴∠ADE=∠DCE 在△ADE和△CDE中， ∴△CDE∽△DAE， ∴， 设tan∠ACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3ax﹣a， ∴解得：x=∴tan∠ACB=，整理得：x﹣3x+1=0， ， 或． 2（可以看出△ABC分别为锐角、钝角三角形两种情况）
3、014?广安）如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G． （1）求证：E是AC的中点；
（2）若AE=3，cos∠ACB=，求弦DG的长．
解答： （1）证明：连AD，如图 ∵AB为⊙O的直径，∠CAB=90°， ∴AC是⊙O的切线， 又∵DE与⊙O相切， ∴ED=EA， ∴∠EAD=∠EDA， 而∠C=90°﹣∠EAD，∠CDE=90°﹣∠EDA， ∴∠C=∠CDE， ∴ED=EC， ∴EA=EC， 即E为AC的中点； （2）解：由（1）知，E为AC的中点，则AC=2AE=6． ∵cos∠ACB=， 设AC=2x，BC=3x， 根据勾股定理，得AB=∴sin∠ACB=． =（3x）﹣（2x）=22x， 连接AD，则∠ADC=90°， ∴∠ACB+∠CAD=90°， ∵∠CAD+∠DAF=90°， ∴∠DAF=∠ACB， 在Rt△ACD中，AD=AC?sin∠ACB=6×=．
在Rt△ADF中，DF=AD?sin∠DAF=AD?sin∠ACB=∴DG=2DF=． ×=， 4略
5、（2011?广州）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上． （1）证明：B、C、E三点共线；
（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM； （3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．