连接OB． ∵AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA=∠OAC=90°， ∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°， ∵OP=OB， ∴∠OBP=∠OPB， ∵∠OPB=∠APC， ∴∠ACP=∠ABC， ∴AB=AC； （2）延长AP交⊙O于D，连接BD， 设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r， 则AB=OA﹣OB=5﹣r， AC=PC﹣PA=∴5﹣r=解得：r=3， ∴AB=AC=4， ∵PD是直径， ∴∠PBD=90°=∠PAC， 又∵∠DPB=∠CPA， ∴△DPB∽△CPA， ∴∴==， ， ． ； 22222222222﹣（5﹣r）， ﹣（5﹣r）， 2解得：PB=∴⊙O的半径为3，线段PB的长为 （3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出OE=AC=AB=又∵圆O与直线MN有交点， ∴OE=≤2r， 25﹣r≤4r， r≥5， ∴r≥， 又∵圆O与直线相离， ∴r＜5， 222 ≤r，
即≤r＜5． 5、（2012?德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：AE?FD=AF?EC； （2）求证：FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．
解答： （1）证明：∵BD是⊙O的切线， ∴∠DBA=90°， ∵CH⊥AB， ∴CH∥BD， ∴△AEC∽△AFD， ∴=， ∴AE?FD=AF?EC． （2）证明：连接OC，BC，
∵CH∥BD， ∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF， ∴∴==，==， ， ∵CE=EH（E为CH中点）， ∴BF=DF， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=∠DCB=90°， ∵BF=DF， ∴CF=DF=BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 即CF=BF． （3）解：∵BF=CF=DF（已证），EF=BF=2， ∴EF=FC， ∴∠FCE=∠FEC， ∵∠AHE=∠CHG=90°， ∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°， ∵∠AEH=∠CEF， ∴∠G=∠FAG， ∴AF=FG， ∵FB⊥AG， ∴AB=BG， ∵BF切⊙O于B， ∴∠FBC=∠CAB， ∵OC=OA，CF=BF， ∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC， ∴∠FCB=∠CAB， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠BCO=90°， ∴∠FCB+∠BCO=90°， 即OC⊥CG， ∴CG是⊙O切线， ∵GBA是⊙O割线，AB=BG（已证）， FB=FE=2， ∴由切割线定理得：（2+FG）=BG×AG=2BG， 在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG=FG﹣BF， ∴FG﹣4FG﹣12=0， 解得：FG=6，FG=﹣2（舍去）， 由勾股定理得： AB=BG=∴⊙O的半径是2=4． ， 222222
6、（略） 7、（略）
8、（2004?武汉）已知：如图，直线y=kx+3（k＞0）交x轴于B点，交y轴于A点，以A为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于E、F两点，交直线AB于C点，连接BE、CE，∠CBD的平分线交CE于I点． （1）求证：BE=IE；
（2）若AI⊥CE，设Q为弧BF上一点，连接DQ交y轴于T，连接BQ并延长交y轴于G点，求AT?AG的值；
（3）设P为线段AB上的一个动点（异于A、B），连接PD交y轴于M点，过P、M、B三点作⊙O1交y轴于另一点N．设⊙O1的半径为R，当不变；②
时，给出下列两个结论：①MN的长度
的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确
的结论并求出其值．
解答： （1）证明：∵AE⊥BD， ∴弧BE=弧DE． ∴∠1=∠2． ∵∠3=∠4，∠5=∠2+∠3，∠IBE=∠1+∠4， ∴∠5=∠IBE． ∴BE=IE． （2）解：连接QC、TB， 则∠6+∠CBQ=90°，
又∠7+∠8=90°，而∠6=∠7， ∴∠CBQ=∠8=∠9． ∴△ABG∽△ATB． ∴AB=AG?AT． ∵AI⊥CE， ∴I为CE的中点． ∴AE=AC，IE=IC． ∴△BEO∽△CBE． ∴OE：OB=BE：CE=1：2． 设⊙A的半径为R， 由AB﹣OA=BO，OE=R﹣3， 得R﹣3=4（R﹣3） 解得R=5，或R=3（不合题意，舍去）． ∴AT?AG=AB=25． （方法二提示：可连接AD、CD证△BAG∽△TAD） （3）解：②的值不变． 证明：作O1K⊥MN于K，连接O1N、PN、BM， 则MN=2NK，且∠N O1K=∠1， ∴==2sin∠NO1K=2sin∠1 22222222由直线y=x+3得OB=OD=4，OM⊥BD， ∴∠2=∠3． 又∠2=∠4+∠5，∠3=∠1+∠6， ∵∠5=∠6， ∴∠1=∠4=∠NO1K，所以=2sin∠4=2×=． 的值不变，其值为． 专题四、圆中的面积问题
1、(1)如图，连接DO并延长交圆于点E，连接AE ∵DE是直径，∴∠DAE=90°， ∴∠E+∠ADE=90°