解答： （1）证明：∵AB是直径， ∴∠BCA=90°， 而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角， ∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°， ∴B、C、E三点共线； （2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图1， ∵CB=CA，CD=CE， ∴Rt△BCD≌Rt△ACE， ∴BD=AE，∠EBD=∠CAE， ∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BF⊥AE， 又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点， ∴ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM； ∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形， ∴MN=OM； （3）成立． 理由如下：如图2，连接BD1，AE1，ON1， ∵∠ACB﹣∠ACD1=∠D1CE1﹣∠ACD1， ∴∠BCD1=∠ACE1， 又∵CB=CA，CD1=CE1， ∴△BCD1≌△ACE1， 与（2）同理可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形， 从而有M1N1=OM1． 6、 14．（2011?金华）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF． （1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度； （2）当DE=8时，求线段EF的长；
（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解答： 解：（1）连接BC， ∵A（10，0），∴OA=10，CA=5， ∵∠AOB=30°， ∴∠ACB=2∠AOB=60°， ∴弧AB的长= （2）①若D在第一象限， 连接OD， ∵OA是⊙C直径， ∴∠OBA=90°， 又∵AB=BD， ∴OB是AD的垂直平分线， ∴OD=OA=10， 在Rt△ODE中， OE==， ；（4分） ∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4， 由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA， 得△OEF∽△DEA， ∴，即， ∴EF=3；（4分） ②若D在第二象限， 连接OD， ∵OA是⊙C直径， ∴∠OBA=90°， 又∵AB=BD， ∴OB是AD的垂直平分线， ∴OD=OA=10， 在Rt△ODE中， OE==， ∴AE=AO+OE=10+6=16， 由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA， 得△OEF∽△DEA， ∴，即=， ∴EF=12； ∴EF=3或12； （3）设OE=x， ①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角
形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB， 当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC 中点，即OE=， ∴E1（，0）； 当∠ECF=∠OAB时，有CE=5﹣x，AE=10﹣x， ∴CF∥AB，有CF=∵△ECF∽△EAD， ∴∴E2（，即，0）； ，解得：， ， ②当交点E在点C的右侧时， ∵∠ECF＞∠BOA， ∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO， 连接BE， ∵BE为Rt△ADE斜边上的中线， ∴BE=AB=BD， ∴∠BEA=∠BAO， ∴∠BEA=∠ECF， ∴CF∥BE， ∴， ∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°， ∴△CEF∽△AED， ∴， 而AD=2BE， ∴即∴E3（， ，解得，0）； ，＜0（舍去）， ③当交点E在点O的左侧时， ∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF． ∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO 连接BE，得BE=∴∠ECF=∠BEA， =AB，∠BEA=∠BAO
∴CF∥BE， ∴， 又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°， ∴△CEF∽△AED， ∴， 而AD=2BE， ∴∴解得x1=， ， ，x2=， ∵点E在x轴负半轴上， ∴E4（，0）， 综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似， 此时点E坐标为：E1（，0）、E2（，0）、E3（，0）、E4（，0）．（4分）