Rt△． 解答： 解：（1）∵AB∥PC， ∴∠BPC=∠ABE=∠ADE． 又∵∠PFE=∠DFP，△PFE∽△DFP， ∴PF：EF=DF：PF，PF=EF?FD． （2）连接AE， ∵AB为直径， ∴AE⊥BP． ∵tan∠APB==，tan∠ABE==a=， ， ． 2令AE=a，PE=2a，BE=3a，AP=∴a==AE，PE=，BE=∵PC为切线， ∴PC=PE?PB=4． ∴PC=2． ∵FC=FE?FD=PF∴PF=FC=∴PF=1． （3）△ADB为等腰直角三角形． ∵AB为直径， ∴∠ADB=90°． ∵PE?PB=PA?PD， ∴PD=2BD===AD． 222=1， ∴△ADB为等腰Rt△． 4、（2014?盘锦）如图，△ABC中，∠C=90°，点G是线段AC上的一动点（点G不与A、C重合），以AG为直径的⊙O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若cosA=，AB=8（3）若cosA=，AB=8
，AG=2
，求BE的长；
，直接写出线段BE的取值范围．
解答： （1）证明：连接OD，如图， ∵△ABC中，∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵直线EF垂直平分BD， ∴ED=EB， ∴∠B=∠EDB， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ODA， ∴∠ODA+∠EDB=90°， ∴∠ODE=90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：连接GD， ∵AG为直径， ∴∠ADG=90°， ∵cosA=， ∴∠A=60°， ∴∠AGD=30°， ∴AD=AG=∵AB=8， ﹣=7， ， ∴BD=AB﹣AD=8∵直线EF垂直平分BD， ∴BF=BD=， 在Rt△BEF中，∠B=30°， ∴EF=BF=， ∴BE=2EF=7； （3）解：∵cosA=， ∴∠A=60°， ∴∠B=30°， ∴AC=AB=4， 由（2）得AD=AG， BF=（AB﹣AD）=4﹣AG，
在Rt△BEF中，∠B=30°， ∴EF=BF， BF=（4﹣AG）=8﹣， AG， ∴BE=2EF=∵0＜AG＜AC，即0＜AG＜4∴6＜BE＜8． 专题三、相似三角形与圆的综合应用 1、（略）
2、（2014?镇江）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似； （3）已知AF=4，CF=2．在（2）条件下，求AE的长．
解答： （1）证明：如图1，连接CD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠ADB+∠EDC=90°， ∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB， ∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°， ∴EA是⊙O的切线． （2）证明：如图2，连接BC，
∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ∴∠CBA=∠ABC=90° ∵B是EF的中点， ∴在RT△EAF中，AB=BF， ∴∠BAC=∠AFE， ∴△EAF∽△CBA． （3）解：∵△EAF∽△CBA， ∴=， ∵AF=4，CF=2． ∴AC=6，EF=2AB， ∴=，解得AB=2， ==4， ． ∴EF=4∴AE=3、（2013?桂林）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于E，以AE为直径作⊙O． （1）求证：点D在⊙O上； （2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面积．
解答： （1）证明：连接OD， ∵△ADE是直角三角形，OA=OE， ∴OD=OA=OE， ∴点D在⊙O上； （2）证明：∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD=∠DAB， ∵OD=OA， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠CAD=∠ODA， ∴AC∥OD， ∴∠C=∠ODB=90°，
∴BC是⊙O的切线； （3）解：在Rt△ACB中，AC=6，BC=8， ∴根据勾股定理得：AB=10， 设OD=OA=OE=x，则OB=10﹣x， ∵AC∥OD，△ACB∽△ODB， ∴==，即=， ，BE=10﹣2x=10﹣=， ， 解得：x=∴OD=∵=，即=， ∴BD=5， 过E作EH⊥BD， ∵EH∥OD， ∴△BEH∽△BOD， ∴=，即=， ∴EH=， ∴S△BDE=BD?EH=． 4、（2012?泰州）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC=2围．
，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范
解答： 解：（1）AB=AC，理由如下：