2018年成人高考专升本 高等数学考前复习重点分析
§1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数: y???f(x)x?D1?g(x)x?D
23.隐函数: F(x,y)= 0
4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1
(y)
y=f-1
(x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：
y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1
)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2), 则称f(x)在D内单调增加( )； 若f(x1)≥f(x2),
则称f(x)在D内单调减少( )； 若f(x1)＜f(x2),
则称f(x)在D内严格单调增加( )； 若f(x1)＞f(x2),
则称f(x)在D内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数
4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b)
㈢ 基本初等函数
1.常数函数： y=c ， (c为常数)
2.幂函数： y=xn
, (n为实数)
3.指数函数： y=ax
, (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1)
第一章 函数、极限和连续
1
5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x
6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x
㈣ 复合函数和初等函数
1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数
§1.2 极 限
一、 主要内容
㈠极限的概念
1.
数列的极限:
limn??yn?A
称数列?yn?以常数A为极限; 或称数列 定理: 若
?yn?收敛于A.
n?yn?的极限存在??y?必定有界.
f(x)的极限：
2.函数的极限： ⑴当x??时，
limf(x)?A??f(x)?A limf(x)?A??limx??x????x???⑵当x?x0时，
f(x)的极限：
lim x?x0f(x)?A
?x?x0 左极限： 右极限：
limf(x)?A limf(x)?A
?x?x0⑶函数极限存的充要条件：
lim定理：x?x0f(x)?A?limf(x)?limf(x)?A
??x?x0x?x0
㈡ 无穷大量和无穷小量
2
1.无穷大量：limf(x)???
f(x)为无穷大量。
称在该变化过程中
X再某个变化过程是指：
??x???,x???,x??,x?x,x?xx?x0 00,2.无穷小量：
limf(x)?0
f(x)为无穷小量。
1???,(f(x)?0) f(x) 称在该变化过程中
3.无穷大量与无穷小量的关系： 定理：limf(x)?0?lim4.无穷小量的比较：lim??0,lim??0
⑴若lim??0,则称β是比α较高阶的无穷小量；
? ⑵若lim ⑶若lim?，则称β与α同阶的无穷小量； ?c （c为常数）
???1，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α； ? ⑷若lim
???,则称β是比α较低阶的无穷小量。 ?定理：若：1?~?1，?2~?2；
?1?1lim?lim 则：?2?2
㈢两面夹定理
1． 数列极限存在的判定准则： 设：
yn?xn?zn （n=1、2、3?）
n?? 且： limyn?limzn?a
n?? 则： limxnn???a
2． 函数极限存在的判定准则：
设：对于点x0的某个邻域内的一切点 （点x0除外）有：
g(x)?f(x)?h(x)
3
且： 则：
x?x0x?x0limg(x)?limh(x)?A
x?x0limf(x)?A
㈣极限的运算规则
若：limu(x)?A,limv(x)?B
则：①lim[u(x)?v(x)]?limu(x)?limv(x)②
?A?B
lim[u(x)?v(x)]?limu(x)?limv(x)?A?B
u(x)limu(x)A?? v(x)limv(x)B③lim(limv(x)?0)
u1(x)?u2(x)???un(x)] 推论：①lim[
?limu1(x)?limu2(x)???limun(x)
②lim[c?u(x)]?③lim[u(x)]
nc?limu(x)
?[limu(x)]n
㈤两个重要极限
sin?(x)sinxlim?1 ?1 或 1．lim?(x)?0x?0?(x)x1x(1?x)x?e 2．lim(1?)?e limx?0x??x§1.3 连续
一、 主要内容
㈠ 函数的连续性 1. 函数在x0处连续： 1o 2o
?x?0?x?01f(x)在x0的邻域内有定义，
lim?y?lim[f(x0??x)?f(x0)]?0
x?x0limf(x)?f(x0)
x?x0 左连续：
limf(x)?f(x0)
?limf(x)?f(x0)
?4
右连续：
x?x0
2. 函数在x0处连续的必要条件： 定理：
3. 函数在x0处连续的充要条件： 定理：
4. 函数在
x?x0f(x)在x0处连续?f(x)在x0处极限存在
limf(x)?f(x0)?limf(x)?limf(x)?f(x0)
??x?x0x?x0?a,b?上连续：
f(x)在?a,b?上每一点都连续。
在端点
x?aa和b连续是指：
f(x)?f(a) 左端点右连续； lim?f(x)?f(b) 右端点左连续。 lim?x?b
a+ 0 b- x
5. 函数的间断点： 若
f(x)在x0处不连续，则x0为f(x)的间断点。
间断点有三种情况： 1o
f(x)在x0处无定义；
x?x0 2olim3o
f(x)不存在；
0limf(x)存在， f(x)在x0处有定义，且x?xx?x0 但
limf(x)?f(x0)。
两类间断点的判断：
1o第一类间断点： 特点：
x?x0limf(x)和limf(x)都存在。
??x?x0可去间断点：x?xlimf(x)存在，但
0 5