limf(x)?0(或?）1olimg(x)x?ax?a； ?0(或?）2o在点a的某个邻域内可导，且
o
g?(x)?0；
3
f?(x)lim?A,（或?） x?a(?)g?(x)x?a(?) 则：limf(x)f?(x)?lim?A,（或?） x?a(?)?g(x)g(x)o
☆注意：1法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。
o
2若不满足法则的条件，不能使用法则。
0 即不是
0o
?型或型时，不可求导。
? 3应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。 4若
o
f?(x)和g?(x)还满足法则的条件，
可以继续使用法则，即：
f(x)f?(x)f??(x)lim?lim?lim?A（或?） x?a(?)g(x)x?a(?)g?(x)x?a(?)g??(x) 5若函数是0??,???型可采用代数变
o
0 形，化成
0?00?或型；若是1,0,?型可 ?0? 采用对数或指数变形，化成或型。
0?
㈢导数的应用
1． 切线方程和法线方程：
设：
y?f(x),M(x0,y0)
y?y0?f?(x0)(x?x0)
1(x?x0),(f?(x0)?0) ?f(x0)切线方程：
法线方程：y?y0??2． 曲线的单调性： ⑴
f?(x)?0x?(a,b)?f(x)在(a,b)内单调增加；
f?(x)?0x?(a,b)?f(x)在(a,b)内单调减少；
11
f?(x)?0x?(a,b)?在(a,b)内严格单调增加；
f?(x)?0x?(a,b)?在(a,b)内严格单调减 少
3.函数的极值： ⑴极值的定义： 设
f(x)在(a,b)内有定义，x0是(a,b)内的一点；
x若对于0的某个邻域内的任意点
x?x0，都有：
f(x0)?f(x)[或f(x0)?f(x)]
则称
f(x0)是f(x)的一个极大值（或极小值）
，
xf(x)的极大值点（或极小值点）称0为。
⑵极值存在的必要条件：
定理：
10.f(x)存在极值f(x0)???f(x0)?002.f?(x0)存在。?
x0称为f(x)的驻点
⑶极值存在的充分条件： 定理一：
10.f(x)在x0处连续；?f(x0)是极值；?20.f?(x0)?0或f?(x0)不存在；? ?x0是极值点。30.f?(x)过x0时变号。??当则 当
x渐增通过x0时，f(x)由（+）变（-）；
f(x0)为极大值；
f(x0)为极小值。 x渐增通过x0时，f(x)由（-）变（+）；则
f(x0)是极值；10.f?(x0)?0；???0??x0是极值点。2.f(x0)存在。?
定理二：
若 若
f??(x0)?0，则f(x0)为极大值；
f??(x0)?0，则f(x0)为极小值。
☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。
4．曲线的凹向及拐点：
⑴若
f??(x)?0,x??a,b?；则f(x)在(a,b)内是上凹的（或凹的）
，（∪）；
12
⑵
f??(x)?0,x??a,b?；则f(x)在(a,b)内是下凹的（或凸的）
，（∩）；
?x0,f(x0)?称10.f??(x0)?0，???02.f??(x)过x0时变号。?为f(x)的拐点。⑶
5。曲线的渐近线： ⑴水平渐近线：
若xl?i??mf(x)?A??y?A是f(x)或 xl?i??mf(x)?A????的水平渐近线
⑵铅直渐近线：
若lim?f(x)???x?C或xxlim?C???是f(x)?C?f(x)????的铅直渐近线。
第三章 一元函数积分学 §3.1 不定积分
一、 主要内容 ㈠重要的概念及性质： ．原函数：设：
f(x),F(x),x?D
若：F?(x)?f(x)
则称F(x)是f(x)的一个原函数，
并称
F(x)?C是f(x)的所有原函数,
其中C是任意常数。
2．不定积分： 函数
f(x)的所有原函数的全体，
称为函数f(x)的不定积分；记作：
?f(x)dx?F(x)?C
其中：f(x)称为被积函数；
f(x)dx称为被积表达式；
x称为积分变量。
3. 不定积分的性质：
13
。1 ⑴
??f(x)dx???f(x)
?f?(x)dx? 或：d ⑵
??f(x)dx??f(x)dx
f(x)?C
或： ⑶
?df(x)?12f(x)?C
?[f(x)?f(x)???fn(x)]dx
??f1(x)dx??f2(x)dx????fn(x)dx
—分项积分法 ⑷
?kf(x)dx?k?f(x)dx (k为非零常数)
4.基本积分公式： ㈡换元积分法： ⒈第一换元法：（又称“凑微元”法）
?f[?(x)]??(x)dx令t??(x)凑微元???f[?(x)]d?(x)
???f(t)dt?F(t)?C
回代t??(x)??F[?(x)]?C
(a,b为常数，a?0)
常用的凑微元函数有： 1o dx?11d(ax)?d(ax?b) aa 2
o
xmdx?11dxm?1?d(axm?1?b) （ m为常数）
m?1a(m?1)1d(aex?b) a 3o exdx?d(ex)? axdx?1d(ax),(a?0,a?1) lna 4
o
1dx?d(lnx) x 5o
o
sindx??d(cosx)cosxdx?d(sinx)
se2cxdx?d(taxn)cs2cxdx??d(coxt)
11?x2 6
dx?d(arcsinx)??d(arccosx)
14
11?x2dx?d(arctxa)n??d(arcotx)
2.第二换元法：
?f(x)dx?令x??f[?(t)]d?(t)
?(t)? ????(t)f[?(t)]dx?F(t)?C
??F[??1(x)]?C
反代t???1(x) 第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，
其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换： 1o
x?tn,n为偶数时,t?0
(当被积函数中有nx时)
2o
x?asint,(或x?acosx),0?t??2 (当被积函数中有
a2?x2时)
3o
x?atant,(或x?acott), (当被积函数中有a2?x2时)
4o
x?asect,(或x?acsct), (当被积函数中有x2?a2时)
㈢分部积分法： 1. 分部积分公式：
?udv?u?v??vdu
???u?v?dx?u?v??u??vdx
2.分部积分法主要针对的类型：
15
0?t??2,0?t??2,(0?t??2)(0?t??2)