⑴ ⑵
?P(x)sinxdx,?P(x)cosxdxxP(x)edx ?
⑷
⑷
?P(x)lnxdx
?P(x)arcsinxdx,?P(x)arccosxdx
axax?P(x)arctanxdx,?P(x)arccotxdx ⑸?esinbxdx,?ecosbxdx
nn?1P(x)?ax?ax???an （多项式） 其中：01 3.选u规律：
⑴在三角函数乘多项式中，令P(x)? 其余记作dv;简称“三多选多”。 ⑵在指数函数乘多项式中，令P(x)? 其余记作dv;简称“指多选多”。 ⑶在多项式乘对数函数中，令
u，
u，
lnx?u，
其余记作dv;简称“多对选对”。
⑷在多项式乘反三角函数中，选反三角函数 为u，其余记作dv;简称“多反选反”。 ⑸在指数函数乘三角函数中，可任选一函数 为u，其余记作dv;简称“指三任选”。 ㈣简单有理函数积分： 1. 有理函数：
P(x)f(x)?
Q(x) 其中
P(x)和Q(x)是多项式。
P(x),1?xf(x)?P(x)1?x2
2. 简单有理函数： ⑴
f(x)? ⑵
P(x)f(x)?(x?a)(x?b)
P(x)
(x?a)2?b16
⑶f(x)?
§3.2定积分 f(x)
一． 主要内容
（一）.重要概念与性质
1. 定积分的定义： O a x1 x2 xi-1 ξi xi xn-1 b x ?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi?i??xi?1,xi??x?0i?1n??n 定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。 定积分的几何意义：是介于x轴，曲线y=f(x), 直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和。
x轴上方的面积取正号， y x 轴下方的面积取负号。 + + a 0 - b x 2. 定积分存在定理：
设：y?f(x)x??a,b?
若：f(x)满足下列条件之一:
1?.f(x)连续，x??a,b?;2.f(x)在?a,b?上有有限个第一类间断点;?
3.f(x)在?a,b?上单调有界;则：f(x)在?a,b?上可积。若积分存在，则积分值与以下因素无关：
?b
1与积分变量形式无关即，?f(x)dx?a?baf(t)dt;
?a,b?可以任意划分2?与在?a,b?上的划分无关，即;3?与点?i的选取无关，即?i可以在xi?1,xi上任意选取。
3.
牛顿——莱布尼兹公式：
??积分值仅与被积函数f(x)与区间[a,b]有关。
17
若F(x)是连续函数f(x)在?a,b?上的任意一个原函数：则：?f(x)dx?F(x)?F(b)?F(a)abba
牛顿——莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。
4. 原函数存在定理：
若f(x)连续，x??a,b?,则：?(x)?xf(t)dt,x??a,b?
?a?(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数 ，
且：??(x)?(?xaf(t)dt)??f(x)5.
定积分的性质：
设f(x),g(x)在[a,b]上可积，则
1??bakf(x)dx?k?baf(x)dx
ba
2??af(x)dx???bf(x)dx
3??ba?f(x)?g(x)?dx??bf(x)dx??baag(x)dx4??aaf(x)dx?0
5??baf(x)??cf(x)dx??bacf(x)dx(a?c?b)
6??ba1dx?b?a
y y y f(x) g(x) 1
f(x)
0 a c b x 0 a b x 0 a b x
18
7f(x)?g(x),(a?x?b)则?f(x)dx??g(x)dxaabb
8?估值定理：其中m,M分别为f(x)在?a,b?上的最小值和最大值。
y y M f(x) f(x) m 0 a b x 0 a ξ b x m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)ab
9积分中值定理：若f(x)连续x??a,b?,则：必存在一点???a,b?, 使?f(x)dx?f(?)?(b?a)ab
（二）定积分的计算：
1. 换元积分
设f(x)连续，x?[a,b]，x??(t)
若??(t)连续，t???,??,
且当t从?变到?时，?(t)单调地从a变到b, ?(?)?a,?(?)?b,
2.
分部积分
bbb则：?f(x)dx??f??(t)????(t)dt
ab???audv?u?va??vdu
a19
3.
广义积分
0?????f(x)dx??4.
x??f(x)dx????0f(x)dx
定积分的导数公式
1（?f(t)dt)?x?f(x)
a
2[??(x)af(t)dt]?x?f??(x)????(x)
3[??2(x)?1(x)?(x)?f??1(x)???1?(x) f(t)dt]?x?f??2(x)???2
(三)定积分的应用
1. 平面图形的面积:
1由y?f(x)?0,x?a,x?b,(a?b)
与x轴所围成的图形的面积 y f(x)
s??f(x)dx
ab
2由y1?f(x),y2?g(x),(f?g)
与x?a,x?b所围成的图形的面积
s???f(x)?g(x)?dxab
3由x1??(y),x2??(y),(???)
与y?c,y?d所围成的图形的面积
s????(y)??(y)?dycd
4.求平面图形面积的步骤：
①.
②. ③. 2.
求出曲线的交点，画出草图；
确定积分变量，由交点确定积分上下限； 应用公式写出积分式，并进行计算。 旋转体的体积
?1曲线y?f(x)?0,与x?a,x?b
及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积：
2V??f x?(x)dx
a
20
b