0 a b x
2由曲线x??(y)?0,与y?c,y?d
及y轴所围成图形绕y轴旋转所得旋转体的体积：
Vy????2(y)dy
cd
第四章 多元函数微积分初步 §4.1 偏导数与全微分 一. 主要内容：
㈠. 多元函数的概念 c) 二元函数的定义：
z?f(x,y)
(x,y)?D
定义域：D(f)
d) 二元函数的几何意义： 二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线） ㈡. 二元函数的极限和连续：
1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件：
1?在点(x0,y0)的某个领域内有定义。
（点(x0,y0)可除外）
21
2?limf(x,y)?A
x?x0y?y0则称z?f(x,y)在(x0,y0)极限存在，且等于A。
2.
连续定义：设z=f(x,y)满足条件：
1?在点(x0,y0)的某个领域内有定义。
2?limf(x,y)?f(x0,y0)则称z?f(x,y)在(x,y)处连续。 x?x000y?y0㈢.偏导数：
定义:f(x,y),在(x0,y0)点
f(x0??x,y0)?f(x0,y0)fx?(x0,y0)?lim ?x?0?xf(x0,y0??y)?f(x0,y0)fy?(x0,y0)?lim ?y?0?yfx?(x0,y0),fy?(x0,y0)分别为函数f(x,y)在(x0,y0)处对x,y的偏导数。
z?f(x,y)在D内任意点(x,y)处的偏导数记为：
?f(x,y)?zfx?(x,y)???z?x
?x?x?f(x,y)?zfy?(x,y)???z?y
?y?y㈣.全微分：
1.定义：z=f(x,y)
若?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)
?A?x?B?y?o(?)
22其中，A、B与?x、?y无关，o（?）是比
???x??y较高阶的无穷小 量。则:dz?df(x,y)?A?x?B?y
22
是z?f(x,y)
3.
在点(x,y)处的全微分。
全微分与偏导数的关系
?(x,y),fy?(x,y)连续，定理：若fx(x,y)?D.
则：z?f(x,y)在点(x,y)处可微且
?(x,y)dx?fy?(x,y)dy dz?fx
㈤.复全函数的偏导数：
z1.设：
?f(u,v),u?u(x,y),v?v(x,y)
?z?f?u(x,y),v(x,y)?
?z?z?u?z?v则：????
?x?u?x?v?x?z?z?u?z?v???? ?y?u?y?v?y2.
设y?f(u,v),u?u(x),v?v(x)
?y?f[u(x),v(x)] dy?ydu?ydv????dx?udx?vdx
㈥.隐含数的偏导数： 1.
设F(x,y,z)?0,z?f(x,y),且Fz??0
Fy?Fx??z?z则??,???xFz??yFz?
2.
??0 设F(x,y)?0,y?f(x),且FyF?dy??x dxFy?23
则
㈦.二阶偏导数：
?2z??z??(x,y)?2?fxx()
?x?x?x?2z??z??(x,y)?2?() fyy?y?y?y?2z??z??fxy(x,y)??()
?x?y?y?x?2z??z??(x,y)?fyx?()
?y?x?x?y??(x,y)和fyx??(x,y)为x,y的连续函数时，结论：当fxy
??(x,y)?fyx??(x,y) 则：fxy㈧.二元函数的无条件极值
1. 二元函数极值定义：
设z(x,y)在(x0,y0)某一个邻域内有定
若z(x,y)?z(x0,y0),?或z(x,y)?z(x0,y0)?
则称z(x0,y0)是z(x,y)的一个极(或极小大)值,
称(x0,y0)是z(x,y)的一个极大(或极小)值点。
极大值和极小值统称为极值，
极大值点和极小值点统称为极值点。
2.极值的必要条件：
若z?f(x,y)在点(x0,y0)有极值，且在(x0,y0)
两个一阶偏导数存在，则：
?(x0,y0)?0fx★1??(x0,y0)?0 fy
?(x0,y0)?fy?(x0,y0)?0的点使fx(x0,y0)，称为z?f(x,y)的驻点。
2?定理的结论是极值存在的必要条件，
而非充分条件。 例：z?y2?x2?1
24
z??x0?0x??2x?0解出驻点?
z?y??2y?0y?0?0z(0,0)?1
当x?0,y?0时，z(0,y)?y2?1?1
当x?0,y?0时，z(x,0)??x2?1?1
∴驻点不一定是极值点。
e) 极值的充分条件：
设：函数y?f(x,y)在(x0,y0)的某个领域内
有二阶偏导数，(x0且,y0)为驻点 ，??(x0,y0)?fxx??(x0,y0)?fyy??(x0,y0) 若：p?fxy??2??(x0,y0)?0时，?f(x0,y0)为极大值。?fxx当：p?0且???(x0,y0)?0时，?f(x0,y0)为极小值。?fxx当：p?0,?f(x0,y0)不是极值。
当：p?0,?不能确定。
求二元极值的方法：
1?求一阶偏导数，令两个一阶偏导数等于零，
解出驻点。
2?求出p,根据极值的充分条件，判断驻点是否是
极值点。
3若驻点是极值点，求出极值。
? 25