二倍角公式：(含万能公式) ①sin2??2sin?cos??222tg? 21?tg?221?tg2?②cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin?? 21?tg?1?cos2?2tg?tg2?1?cos2?22cos??③tg2?? ④ ⑤sin???21?tg2?1?tg2?2
第五章排列与组合
（1）加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成。 （2）乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成。 排列：从n个不同元素里，任取
(1?m?n)个元素，按照一定的顺序排列成一列，称为从n个不同元素
里取出m个元素的一个排列，计算公式：
Pn
m?n(n?1)(n?2)......[n?(m?1)]?规定P?n!,0!?1n(n?m)!26
n!n
组合：从n个不同元素里，任取
(1?m?n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素里取出m个元素的
nC或（）n，计算公式： 一个组合，组合总数记为nmCmn?n(n?1)(n?2)......[n?(m?1)]m!mnn?mnPmnPmm
概率论 样本空间 ?n!m!(n?m)!规定C0n?1
组合的性质：C?C(m＞n2),Cmn?1?Cmn?Cm?1n
Pnm?C?P或C?nmnmmm第六章概率论
符号 集合论 全集 空集 集合的元素 子集 A的余集 A是B的子集 集合A与B相等 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A与B没有相同元素 不可能事件 基本事件 事件 A的对立事件 事件A发生导致 事件B发生 A与B两事件相等 事件A与事件B 至少有一个发生 事件A与事件B同时发生 事件A发生而事件B不发生 事件A与事件B互不相容 A A=B A-B 由于随机事件都可以用样本空间
中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就可以用集合论的知识
来讨论和表示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示事件的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个子区域表示某个事件。于是各事件的关系运算如图中的图示所示。
各事件的关系运算如图示：
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9.完备事件组 n个事件 （1） （2）
，如果满足下列条件：
；
，
则称其为完备事件组。
显然任何一个事件A与其对立事件构成完备事件组。 10.事件运算的运算规则： （1）交换律
（2）结合律 （3）分配律 （4）对偶律
率的古典定义
定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为n，事件A包含的基本事件数为m，则事件
A发生的概率为。
概率的基本性质与运算法则 性质1.0≤P(A)≤1
特别地，P(Φ)=0，P(Ω)=1 性质2.若
，则P(B-A)=P(B)-P(A)
性质3.（加法公式）．对任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 。 推论1.若事件A，B互不相容（互斥），则P(A+B)=P(A)+P(B)
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推论2.对任一事件A,有
推论3.对任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
条件概率、乘法公式、事件的独立性 条件概率
定义1：设有事件A，B，且P(B)>0,称
类似地，如果P(A)>0，则事件B对事件A的条件概率为
概率的乘法公式
乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件A,B,C,有
事件的独立性
一般地说, P(A︱B)≠P(A)，即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。若P(A︱B)≠P(A)，则说明事件B的发生在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A，B相互独立。
定义：对于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B) ，则称事件A与事件B相互独立。独立试验序列概型 在相同的条件下，独立重复进行n次试验，每次试验中事件A可能发生或可能不发生，且事件A发生的概率为p，则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为
一维随机变量及其概率分布
（一）随机变量 1.随机变量
定义：设Ω为样本空间，如果对每一个可能结果则称X为定义在Ω上的随机变量，简记作
。
，变量X都有一个确定的实数值
与之对应，
2.离散型随机变量
定义：如果随机变量X只能取有限个或无限可列个数值，则称X为离散型随机变量。 （二）分布函数与概率分布 1.分布函数
称为随机变量X
定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数的分布函数。
分布函数F(x)有以下性质：
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（2）F(x)是x的不减函数，即对任意
（4）F(x)是右连续的，即
（5）对任意实数a＜b,有P{a＜X≤b}=F(b)-F(a) 2.离散型随机变量的概率分布
则称上式为离散型随机变量X的概率分布（或概率函数或分布列）。 离散型随机变量X的概率分布也可以用下列列表形式来表示：
3.分布函数与概率分布之间的关系
若X为离散型随机变量，则随机变量的数字特征 1.数学期望
（1）数学期望的概念
定义：设X为离散型随机变量，其概率函数为
。
若级数绝对收敛，则称为X的数学期望，简称期望或均值，记作EX，即
（2）数学期望的性质
①若C为常数，则E(C)=C
②若a为常数，则E(aX)=aE(X) ③若b为常数，则E(X+b)=E(X)+b
④若X,Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y) 2.方差
（1）方差的概念
存在，则称
为X的方差，记作DX，即
定义：设X为随机变量，如果
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