x?x0limf(x)?f(x0)，或f(x)在x0处无定义。
2o第二类间断点： 特点：
x?x0f(x)至少有一个为∞， limf(x)和lim??x?x0lim 或x?xf(x)振荡不存在。
0无穷间断点：
x?x0f(x)至少有一个为∞ limf(x)和lim??x?x0㈡函数在x0处连续的性质
1. 连续函数的四则运算：
limf(x)?f(x)limg(x)?g(x0) 0 设，
x?x0x?x0 1o x?x0lim[f(x)?g(x)]?f(x0)?g(x0)
2o x?x0lim[f(x)?g(x)]?f(x0)?g(x0)
3o
f(x)f(x0)??lim?limg(x)?0?? x?xx?x0g(x)?0?g(x0)2. 复合函数的连续性：
y?f(u),u??(x),y?f[?(x)]
lim?(x) x?x0??(x0),u??(x0)limf(u)?f[?(x0)]
x?x0lim 则：x?x0f[?(x)]?f[lim?(x)]?f[?(x0)]
3. 反函数的连续性：
y?f(x),x?f?1(x),y0?f(x0)
x?x0limf(x)?f(x0)?limf?1(y)?f?1(y0)
y?y06
㈢函数在[a,b]上连续的性质
1.最大值与最小值定理：
f(x)在[a,b]上连续?f(x)在[a,b]上一定存在最大值与最小值。
y y +M M f(x) f(x) 0 a b x
m -M 0 a b x
a) 有界定理：
f(x)在[a,b]上连续?f(x)在[a,b]上一定有界。
3.介值定理：
f(x)在[a,b]上连续在(a,b)内至少存在一点
?，使得：f(?)?c，
?c?M
其中：m y y M f(x) C f(x) 0 a ξ b x
m
7
0 a ξ1 ξ2 b x
推论：
f(x)在[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号?在(a,b)内至少存在一点?，使得：f(?)?0。
b) 初等函数的连续性：
初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念 1．导数：
y?f(x)在x0的某个邻域内有定义，
?l?yf(x0??x)?f(x0)xi?m0?x??lxi?m0?x
?f(x)?f(x0)xlim?x0x?x 0y?dyx?x0?f?(x0)?dxx?x0
2．左导数：
ff(x)?f(x0)??(x0)?xlim?x?0x?x
0f(x)?f(x右导数：
f0)??(x0)?xlim?x?0x?x
0 定理：
f(x)在x0的左（或右）邻域上连续在
其内可导，且极限存在；
则：
f??(x0)?xlim?x?f?(x)
0 （或：
f??(x0)?xlim?x0?f?(x)）
3.函数可导的必要条件： 定理：
f(x)在x0处可导?f(x)在x0处连续
4. 函数可导的充要条件： 定理：
y?x?x0?f?(x0)存在?f??(x0)?f??(x0)，
且存在。 5.导函数：
y??f?(x), x?(a,b)
f(x)在(a,b)内处处可导。 6.导数的几何性质： 8
y
f?(x0) f(x)
?y
f?(x0)
是曲线y?f(x)上点
?x
M?x0,y0?处切线的斜率。 o x0 x
㈡求导法则
1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o（ u?v)? 2o（ u?v)??u??v?
?u??v?u?v?
3o
??u?u??v?u?v????v2?v?(v?0)
3.复合函数的导数：
y?f(u),u??(x),y?f[?(x)]
dydydu??，或 dxdudx
{f[?(x)]}??f?[?(x)]???(x)
☆注意
{f[?(x)]}?与f?[?(x)]的区别：
{f[?(x)]}?表示复合函数对自变量x求导；
f?[?(x)]表示复合函数对中间变量?(x)求导。
4.高阶导数：
f??(x),f???(x),或f(3)(x)
f(n)(x)?[f(n?1)(x)]?,(n?2,3,4?)
函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。 ㈢微分的概念 1.微分：
f(x)在
x的某个邻域内有定义，
?y?A(x)??x?o(?x)
其中：
A(x)与?x无关，o(?x)是比?x较高
o(?x)?0
?x?0?x 阶的无穷小量，即：lim 则称
y?f(x)在
x处可微，记作：
dy?A(x)?x
dy?A(x)dx (?x?0)
9
2.导数与微分的等价关系：
定理：且：
f(x) 在x处可微?f(x)在x处可导，
f?(x)?A(x)
3.微分形式不变性：
dy?f?(u)du
dy都具有相同的形式。
不论u是自变量，还是中间变量，函数的 微分
§2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 ㈠中值定理 1.罗尔定理:
f(x)满足条件:
?10在(a,b)内至少.在[a,b]上连续；? 20在(a,b)内可导;?, ??存在一点.?30使得f?(?)?0..f(a)?f(b).? y f?(?) f?(?) f(x) f(x) a o ξ b x a o ξ b x 2.拉格朗日定理：
f(x)满足条件:
在(a,b)内至少存?，1在[a,b]上连续?，使得： 0 ??在一点2在(a,b)内可导；?f(b)?f(a)f?(?)?b?a0㈡罗必塔法则：（0,0? 型未定式） ?定理：
f(x)和g(x)满足条件：
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