【解】
d2E(k)(1)电子的有效质量m与成反比，在k?0处，能带III的曲率最大，所以电子有效
dk2*n质量最小；能带I的曲率最小，所以电子有效质量最大。能带II的有效质量为负数。 (2) II带的少量电子进入III带后，将占据其带底附近的状态；而少量空穴处于第II能带的带顶附近的状态，空穴的有效质量定义为电子的有效质量的负值，有图可知，
d2E(k)d2E(k)?2dkdk2II
III*所以，II带中的空穴有效质量m*p大于III带中的电子有效质量mn。
4 题目：在量子力学中，晶体中电子的波函数可以表示为平面波的线性叠加 ?k?r???a(k?Kh)ei(k?Kh)?r?eik?r?a(k?Kh)eiKh?r
hh????????请用该式证明: k?Kn和k描述的是同一电子状态的，其中Kn是晶体的倒格矢。
证明：
固体物理知识可以知道，电子的波函数是无数组平面波的线性叠加，可以表示为：
?k?r??eik?r?a(k?Kh)eiK?r
hhh?r(?Khei)K其中： uk(r)??ak
hr uk(r)?uk(?Rn )uk?Kn(r)??a(k?Kh?Kn)eiKh?r
h??a(k?Kl)eli(kl?Kn)?r
?k?K(r)?ei(k?Knn)?ruk?Kn(r)??eik?ra(k?Kl)eikl?r??k(r)l
?????上式说明：k?Kn和k态实际是同一电子态。同一电子态对应同一个能量，所以又有：
k E(r)?E(?nK )5、 题目：根据量子力学知道，晶体中电子的平均运动速度为
v????k(r)??k(r)d3r ?im0?(r)为其共轭。请用薛定谔方程证明 式中?k(r)为晶体中电子的布洛赫波函数，?kv?1?kE(k) ?证明：
布洛赫波函数为
?k(r)?uk(r)eik?r
将波矢空间梯度算符
?k????i?j?k ?kx?ky?kz作用到布洛赫波函数上，可得
?k?k(r)?ir?k(r)?eik?r?kuk(r)
薛定谔方程为
?22???k(r)?U(r)?k(r)?E(k)?k(r) 2m0将算符?k作用到薛定谔方程两侧，得
?22?22ik?r???ir?k(r)????e?kuk(r)??U(r)?ir?k(r)??U(r)?eik?r?kuk(r)?2m02m0?irE(k)??k(r)??E(k)?e?kuk(r)???k(r)?kE(k)ik?r????????????????(1)
（1）为薛定谔方程的右侧部分，将（1）用薛定谔方程的左侧部分代替，并进行左右侧内容的对调，可得
?22ik?r???e?kuk(r)??U(r)?eik?r?kuk(r)??E(k)?eik?r?kuk(r)?2m0??22???22??ir????k(r)?U(r)?k(r)??????ir?k(r)??U(r)?ir?k(r)????k(r)?kE(k)因为
?2m0??2m0??2??(ir)??2?k(r)???2?ir?k(r)???k(r)?kE(k)2m0??eik?r?kuk(r)也为布洛赫波函数，所以
?22ik?r???e?kuk(r)??U(r)?eik?r?kuk(r)??E(k)?eik?r?kuk(r)??0 2m0又因为
(ir)??2?k(r)???ir?k2?eik?ruk(r)?2r?k?eik?r?uk(r)?ir?eik?r?2uk(r)
?2?ir?k(r)???2k?eik?ruk(r)?2i?eik?r?uk(r)?ir?k2?eik?ruk(r)?2r?k?eik?r?uk(r)?ir?e?uk(r)而
??k(r)?ik?eik?ruk(r)?eik?r?uk(r)
ik?r2
所以
2(ir)??2?k(r)???2?ir?k(r)????k(r)
i所以
?2?(ir)??2?k(r)???2?ir?k(r)???k(r)?kE(k)2m0?2??????k(r)??k(r)?kE(k)?0i?m0
?(r)并对晶体进行积分 上式乘以?k?i??2?3?(r)??(r)??(r)?E(k)??dr?0 kkk??m0?*k所以
1*?*33?(r)?(r)?E(k)dr??(r)??(r)dr kkkkk???i?m01*113*3?(r)?(r)?E(k)dr??E(k)?(r)?(r)dr??kE(k) k??kkk?kk??所以
v?1?kE(k) ?2 已知一维晶体的电子能带可写成
E(k)?E0[0.4?0.1cos(2ka)?0.5cos(ka)]
其中，E0=6eV，晶格常数为a=3×10-10m。(1)画出E-k曲线；（2）求能带宽度；（3）求能带底和能带顶电子的有效质量。 解：（1）E-k曲线为
（2）能带宽度为
在简约布里渊区，k?0取最小值，k?能带宽度为E0=6eV。
（3）能带底和能带顶电子的有效质量为
?2?2m*?2? 222dE/dkE0[?0.1?4a?cos2ka?0.5acoska]?a取最大值。
代入分别得1.284×10-30kg和-1.427×10-31kg 3 一平面正方晶格的二维晶体，电子的能带结构为：
E(k)??U0coskxa?coskya
a为晶格常数，U0>0。 （1）求能带宽度； （2）设k1?（3）设k2??ai??2aj，求该电子的平均速度；
?ai，求该电子的有效质量。
kxsa?解：（1）能带E(k)??U0cokcyoas取极值，则
?E?U0asinkxa??kxckoyas?，0且
?E?U0acoksxa??kyskiyan?，得0kx?p?q?,ky?,p,q?0,?1,2,...?aa，在kx?0,ky?0时，取极小
值Emin??U0；在kx?（2）波矢k1??a,ky??a时，取极大值Emax?U0，因此能带宽度为2U0。
?ai??2aj电子的平均速度为
11??E(k)?E(k)?V(k)???kE(k)???i?j??????k?kxy??
1??(U0asinkxacoskya)i?(U0acoskxasinkya)j??代入k1??a2aUaV(k)?0j
?i??j
?1?m*1xx??m*?1?m*（3）
?yx1???2E??k2?m*1xy???x1??2??2E??m*yy????ky?kx?2E??kx?ky???2E??2?kx??
22?Uacoskacoska?Uasinkxasinkya?10xy0?2??22???UasinkasinkaUacoskacoska?xy0xy?0?带入k2??ai，得
11?00??2? ?00m*???6、已知一维晶体的电子能带可写成
h271E(k)?(?cos2?ka?cos6?ka) 2m0a88式中：a为晶格常数。试求： （1） 能带的宽度
（2） 电子的波矢k状态时的速度 （3） 能带底部和顶部电子的有效质量 【解】