zz?1ess?lim?z?1?E?z??lim?? ?1z?1z?14(1?e)1?z?e?1当r?t??t2/2时，
z?z?1?R?z??T2z?z?1?2?z?1?3?z?z?1?2?z?1?3E?z??2?z?1?1?3?14?1?e?
z?e?1由终值定理得：
z?z?1?2?z?1?ess?lim?z?1?E?z??lim??
z?1z?14(1?e?1)1?z?e?13.11 已知单位反馈闭环系统传递函数为WB(z)?函
数WK(z)，并绘制伯德图，求相位、增益稳定裕量度。 解答：由WB?z??2z?0.5，T?1s，试求开环传递23(z?z?0.5)WK?z?得： 1?WK?z?z?0.5WB?z?z?0.53(z2?z?0.5)WK?z????2
z?0.51?WB?z?1?3z?4z?123(z?z?0.5)将z?1?0.5w代入得
1?0.5w1?0.5w?0.52?0.125w?0.5w?1.51?0.5wWK(w)?? 22w?w?1??1?0.5w??1?0.5w?3??4?1??1?0.5w???1?0.5w?? 将j?w代入WK(w)得
?j???j???1???1???0.125?j???0.5j??1.562???
WK?j??????2j??j??1?192j??j??1?246
由此式可画出伯德图。
伯德图
从图上可以找出幅值裕量为-12dB。 3.12 若开环传递函数为W(s)?1，试绘制连续系统奈奎斯特图及带零阶保持器和不
s(s?1)带零阶保持器离散系统的奈奎斯特图，设采样周期T?0.2s。 解答：连续系统奈奎斯特图如下。
连续系统奈奎斯特图
不带零阶保持器的奈奎斯特图如下
47
不带零阶保持器的奈奎斯特图
3.13*一般来说，计算机控制系统的稳定性与采样周期的关系为：采样周期越小，系统稳定 性越高；采样周期越大，系统稳定性越差，甚至变成不稳定。试对此进行详细分析。
解答：计算机控制系统因其控制对象是连续系统，它的等效离散化后的闭环系统z传递函数模型与采样周期的选取有关，其极点分布也必然与采样周期的选取有关，因此采样周期的大小是影响计算机控制系统稳定性的一个重要因素。同一个计算机控制系统，取某个采样周期系统是稳定的，然而改换成另一个采样周期，系统有可能变成不稳定。采样周期对系统稳定性的影响主要是由于计算机控制系统中采样保持器引起的，若不考虑采样保持器的影响，则采样周期对计算机控制系统的稳定性影响不大。若考虑采样保持器的影响，则采样周期越小，系统稳定性越高；采样周期越大，系统稳定性越差，甚至变成不稳定。 3.14 试说明劳斯判据应用的特殊情况及其处理方法。 解答：（1）劳斯表中出现全0行时，可由上一行的元素构建一个辅助方程，对其求一阶导数得到一个降幂方程，由降幂方程的系数替代全0行的元素完成余下各行元素的计算；
（2）如果某行的首列元素为0，而其余元素有不为0的，则用小正数ε替代首列0元素完成余下的计算，由??0的极限可确定余下首列元素的符号； （3）特征方程的系数不同号（系数为0属不同号范畴）时，首列符号必改变，系统不稳定。 3.15*离散系统的稳定性判据除了书中介绍的方法外，还有哪些？各自有何特点？ 解答：
（1）直接求特征方程的根来判别稳定性
将系统闭环特征方程的根求出来，检查系统特征根是否都在z平面的单位圆内，如果是，则系统是稳定的；否则，只要有一个根在单位圆外，系统就是不稳定的。 （2）根轨迹法判别稳定性 根轨迹法特点：
1）z平面极点的密集度很高（因为无限大的s左半平面映射到优先的单位圆内），z平面上两个很接近的极点对应的系统性能却有较大的差别，因此要求根轨迹的计算精度较高。 2）在s平面中，临界放大系数是由根轨迹与虚轴的交点求得，z平面的临界放大系数则由根轨迹于单位圆的交点求得。
3）在离散系统中，只考虑闭环极点位置对系统性能的影响是不够的，还需考虑零点对动态响应的影响。
3.16*试从理论上分析采样周期与系统稳态误差之间的关系。
解答：当采样开关后有零阶保持器时，对象与零阶保持器法一起离散后，系统的稳态误差与
48
采样周期T之间没有必然的联系。如果被控对象中包含与其类型相同的积分环节（即I型系统—被控对象中要求有1个积分环节；II型系统—被控对象中要求有2个积分环节，依次类推），则系统稳态误差只与系统的类型、放大系数和信号的形式有关，而与采样周期T无关；反之，如果被控对象中不包含足够多的积分环节，则稳态误差将与采样周期有关，采样周期越小，系统的稳态误差相应也就减小。
当采样开关后无零阶保持器时，系统的稳态误差将随采样周期T的增大而增大。 3.17*减小或消除系统的稳态误差有哪些方法，试分析之。
解答：为了减小或消除系统的稳态误差，我们可以采用以下几点措施： （1）增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益。然而，此方法是有限制的，我们不能无限增大系统开环增益，因为当开环增益增大到一定程度时，必然会影响系统的稳定性，而这并不是我们所希望看到的。另外，增大扰动点之后的前向通道增益，却并不能改变系统对扰动的稳态误差。
（2）在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节。可以消除系统在特定输入信号形式和特定扰动作用形式下的稳态误差。
（3）采用串级控制抑制内回路扰动。当系统内存在多个扰动信号且控制精度要求较高时，一采用串联控制方式，可以显著控制内回路的扰动影响，与单回路控制系统相比，串级控制系统对二次扰动的抑制能力有很大的提高。 （4）采用前馈补偿法，这一方法既可以是系统有较高的稳态精度，又可有良好的动态性能。 3.18 当离散系统的极点位于z平面复平面上时（复根），试推导系统暂态响应表达式。 解答：设zi与zi为一对共轭复极点，它们可分别表示为
zi?zi对应的暂态响应分量为：
j?i，zi?zi?j?i
kkyizi(k)?Azii，yizi(k)?Azii
式中Ai、Aj是由z反变换的部分分式法求得的系数，它是一个复数，表示为
Ai?Aiej?Ai，Ai?Aie?j?Ai
将Ai、Aj和zi、zi分别代入式（3.57），则共轭极点产生的暂态量为
yi(k)?yizi(k)?yizi(k)
?Aizie?2Aizicos(k?i??Ai)
kkj(k?i??Ai)?Aiziek?j(k?i??Ai)
第四章 数字控制器的模拟化设计方法
习题与思考题
4.1 在什么情况下，计算机控制系统可以近似为连续控制系统？为什么？
49
解答: 在计算机控制系统中，在现有的技术条件下，数字控制器的运算速度和精度可以足够高，既不会产生滞后影响也不会影响系统精度；对模数转换（A/D）来说，可以根据系统对采样信号处理的需要选择采样频率，可以通过选择合适的输入信号量程和字长（位数）来满足系统对转换精度的要求；对数模转换（D/A）来说，转换精度（量化精度）取决于D/A字长（位数）和输出信号量程，转换速度也可以足够快，只要合理选择就可以了。
但是，D/A同时起到零阶保持器的作用，在采样周期T足够小的情况下，当系统的带宽比采样角频率低很多时，可以忽略零阶保持器的影响。因此，在合理选择A/D、D/A等环节的基础上，只要选择足够小的采样周期T，计算机控制系统就可以近似为连续系统。
4.2 数字控制器的离散化方法都有那些？各种离散化方法都必须遵循的基本原则是什么？ 解答：离散化方法包括z变换法、差分变换法、双线性变换法、零极点匹配法等，每种方法都有各自的特点，但不管选择哪种方法都必须保证离散化后的数字控制器与原模拟控制器具有相同或相近的动态特性和频率特性。
4.3 已知连续控制系统的模拟控制器传递函数为D(s)?1，采样周期为T?1s，
s2?0.2s?1分别采用前向差分和后向差分法求出数字控制器传递函数D(z)及差分形式的控制算法。
1?z?1解答：后向差分变换：将s?代入D(s)得
T1D(z)?1?z?121?z?1（）?0.2+1TTT2??2z?(2?0.2)z?1?T2?0.2T?11
??2z?2.2z?1?2.2由于D(z)?U(z)，所以，U(z)(z?2?2.2z?1?2.2)=E(z) E(z)两边同时进行z反变换并整理得数字控制器的差分方程为
u(k)?u(k?1)?0.45u(k?2)?0.45e(k)
前向差分变换：将s?z?1代入D(s)得 T1D(z)?z?12z?1（）?0.2+1TTT2?(z?1)2?0.2T(z?1)?T2z?2?1.8z?2?1.8z?1?1
50