z1?1,z2?0.5Res[F(z)zk?1]z?1?[(z?1)Res[F(z)zk?1]z?0.5f(kT)?1?(0.5)kf(t)??(1?(0.5)k)?(t?kT)*k?0?0.5zzk?1]z?1?1(z?1)(z?0.5)0.5z?[(z?0.5)zk?1]z?1??(0.5)k
(z?1)(z?0.5)?3?z?1(5) F(z)? ?1?21?2z?z解答：长除法
1?2z?1?z?2?3?5z?1???3?z?1?3?6z?1?3z?2?5z?1?3z?2 ?5z?1?10z?2?5z?3?f*(t)??3?(t?T)?5?(t?2T)??部分分式法：
F(z)?32??zz?1(z?1)2f(kT)??3?2kf(t)??(?3?2k)?(t?kT)*k?0?
留数法：
z1,2?1Res[F(z)zk?1]z?1?f(kT)??2k?3f(t)??(?2k?3)?(t?kT)*k?0?d0.5z[(z?1)zk?1]z?1??2k?3ds(z?1)(z?0.5)
(6) F(z)?解答：
长除法：
z(z?2)(z?1)2
21
zz?2原式=3?z?4z2?5z?21?4z?1?5z?2?2z?3z?2?4z?3??1?4z?1?5z?2?2z?3z?2z?2?4z?3?5z?4?2z?5 ?3?4?54z?5z?2z4z?3?16z?4?20z?5?8z?6?f*(t)??(t?2T)?4?(t?3T)??部分分式法：
F(z)111???zz?2z?1(z?1)2zzzF(z)???z?2z?1(z?1)2 f(kT)?2k?1?kf(t)??(2k?1?k)?(t?kT)*k?0?留数法：
F(z)中有一个单极点和两个重极点
z1?2，z2,3?1，m?2，n?2
利用式（2.85）求出z?z1?2时的留数
?zk?1?k Res[F(z)zk?1]z?z1??(z?2)z?2?2(z?2)(z?1)??z?2利用式（2.86）求出z?z2,3?1的留数，其中n?2。
Res[F(z)zk?1]z?z2,3?1d?z2k?1?(z?1)z?(z?2)(z?1)2?2?1?!dz???z?1
?kzk?1(z?2)?zk?d?zk??????dz?(z?2)?(z?2)2?z?1??z?1??k?1根据式（2.84）有f(kT)?2k?k?1 从而f(t)?*?(2k?0?k?k?1)?(t?kT)
2.15 举例说明，z变换有几种方法？
解答：级数求和法，部分方式法，留数计算法。举例见书上例题。
22
2.16 简述z变换的线性定理，并证明之。
解答：线性定理：线性函数满足齐次性和迭加性，若
Z?f1(t)??F1(z)，Z?f2(t)??F2(z)
a、b为任意常数，f(t)?af1(t)?bf2(t)，则
F(z)?aF1(z)?bF2(z)
证明：根据z变换定义
F(z)??[af1(kT)?bf2(kT)]zk?0??k?a?f1(kT)zk?0??k?b?f2(kT)z?kk?0?
?aZ[f1(t)]?bZ[f2(t)]?aF1(z)?bF2(z)证毕。
2.17 简述z变换的滞后定理，并证明之。 解答：滞后定理（右位移定理）
如果f(t)?0，则
Z?f(t?nT)??z?nF(z)
证明：根据z变换定义
Z?f(t?nT)???f(kT?nT)zk?0??k?z?n?f(kT?nT)zk?0??(k?n)
令k?n?m，则
Z?f(t?nT)??z?nm??n??f(mT)z?m
因为t?0时，f(t)?0（物理的可实现性），上式成为
Z?f(t?nT)??z?nm?0?f(mT)z??m?z?nF(z)
证毕。
2.18 简述z变换的超前定理，并证明之。 解答：超前定理（左位移定理）
Z?f(t?nT)??zF(z)?znn?f(jT)zj?0n?1?j
如果f(0T)?f(T)???f?(n?1)T??0 则
Z?f(t?nT)??znF(z)
证明：根据z变换定义
23
Z?f(t?nT)???f(kT?nT)zk?0??k?zn?f(kT?nT)zk?0??(k?n)
令k?n?r，则
Z?f(t?nT)??zn?f(rT)zr?n?r?0??r?z[?f(rT)z??f(rT)z?r]
n?rr?0n?1?z[F(z)??f(jT)z?j]nj?0n?1当f(0T)?f(T)???f?(n?1)T??0（零初始条件）时，上式成为
Z?f(t?nT)??znF(z)
证毕。
2.19 简述z变换的初值定理，并证明之。 解答：初值定理
如果f(t)的z变换为F(z)，而limF(z)存在，则
z??f(0)?limF(z)
z??证明：根据z变换定义
F(z)??f(kT)z?k?f(0T)?f(T)z?1?f(2T)z?2??
k?0?当z??时，上式两端取极限，得
limF(z)?f(0)?limf(kT)
z??k?0证毕。
2.20 简述z变换的终值定理，并证明之。 解答：终值定理
1如果f(t)的z变换为F(z)，而(1?z?)F(z)在z平面以原点为圆心的单位圆上或圆外没有
极点，则
limf(t)?limf(kT)?lim(1?z?1)F(z)?limt??k??z?1(z?1)F(z)
z?1z证明：根据z变换定义
Z?f(t)??F(z)??f(kT)z?k
k?0?Z?f(kT?T)??zF(z)??f(kT?T)z?k
?1k?0?24
因此，有
?f(kT)zk?0??k??f(kT?T)z?k?F(z)?z?1F(z)
k?0?当z?1时，上式两端取极限，得lim[z?1?f(kT)zk?0??k??f(kT?T)z?k]?lim(1?z?1)F(z)k?0z?1?
由于t?0时，所有的f(t)?0，上式左侧成为
?[f(kT)?f(kT?T)]?[f(0T)?f(?T)]?[f(T)?f(0T)]k?0?
?[f(2T)?f(T)]???f(?)?limf(kT)k??因此有
limf(kT)?lim(1?z?1)F(z)
k??z?1证毕。
2.21 简述z变换的求和定理，并证明之。 解答：求和定理（叠值定理）
在离散控制系统中，与连续控制系统积分相类似的概念叫做叠分，用
?f(j)来表示。
j?0k如果g(k)?则
?f(j)j?0k(k?0,1,2,?)
G(z)?Z?g(k)??F(z)z?F(z)
1?z?1z?1k?1证明：根据已知条件，g(k)与g(k?1)的差值为：
g(k)?g(k?1)??f(j)??f(j)?f(k)
j?0j?0k当k?0时，有g(k)?0，对上式进行z变换为
G(z)?z?1G(z)?F(z)，G(z)??k?1F(z) 即Z??f(j)???11?z?j?0?证毕。
2.22 简述z变换的复域位移定理，并证明之。 解答：复域位移定理
如果f(t)的z变换为F(z)，a是常数，则
25
1F(z) ?11?z