?atF(ze?aT)?Z?ef(t)???
位移定理说明，像函数域内自变量偏移e?aT时，相当于原函数乘以e?at。
证明：根据z变换定义
Z??e令z1?ze?aT，上式可写成
?at?akT?kf(t)????f(kT)ez
k?0?Z??e?at?kf(t)??f(kT)z?F(z1) ?1?k?0?代入z1?ze?aT，得
?at?aT?Z?ef(t)?F(ze) ??证毕。
2.23 简述z变换的复域微分定理，并证明之。 解答：复域微分定理
如果f(t)的z变换为F(z)，则
Z?tf(t)???Tz证明：由z定义
dF(z) dzF(z)??f(kT)z?k
k?0?对上式两端进行求导得
?dF(z)?dz?k??f(kT)???kf(kT)z?k?1 dzdzk?0k?0对上式进行整理，得
dF(z)??Tz??kTf(kT)z?k?Z[tf(t)]
dzk?0证毕。
2.24 简述z变换的复域积分定理，并证明之。 解答：复域积分定理
如果f(t)的z变换为F(z)，则
?F(z)f(t)?f(t)? Z??dz?lim??zt?0tTzt??证明：由z变换定义，令
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?f(t)??f(kT)?kG(z)?Z???z ??t?k?0kT利用微分性质，得
dG(z)?f(kT)?k?11?1???z???f(kT)z?k??F(z) dzTTzk?0Tzk?0对上式两边同时积分，有
z?F(z)dG(z)1，dz??F(z)dzG(z)?limG(z)???dz??Tz?zTzdz z??z根据初值定理
limG(z)?limz??t?0f(t) t所以
?F(z)f(t)?f(t)? G(z)?Z??dz?lim??zt?0Tzt?t?证毕。
2.25 简述z变换的卷积和定理，并证明之。 解答：卷积定理
两个时间序列（或采样信号）f(k)和g(k)，相应的z变换为F(z)和G(z)，当t?0时，
f(k)?g(k)?0，t?0的卷积记为f(k)?g(k)，其定义为
f(k)?g(k)??f(k?i)g(i)??f(k?i)g(i)
i?0i?0k?或f(k)?g(k)?则
?g(k?i)f(i)??g(k?i)f(i)
i?0i?0k?Z?f(k)?g(k)??F(z)G(z)
????????k证明：Z?f(k)?g(k)??Z??f(k?i)g(i)?????f(k?i)g(i)?z
?i?0?k?0?i?0?令m?k?i则k?m?i
因而
??????m?i?mZ?f(k)?g(k)?????f(m)g(i)?zz??f(m)z?g(i)z?i
m??i?i?0m??ii?0??因为当m?0时f(m)?0，所以
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Z?f(k)?g(k)???f(m)zm?0??m?g(i)zi?0??i?F(z)G(z)
证毕。
2.26 举例说明，有几种z反变换的方法。
解答：长除法，部分分式法，留数法。举例见书上例题。 2.27*为什么要使用扩展z变换？
解答：在进行计算机控制系统的分析和设计时，我们往往不仅关心系统在采样点上的输入、输出关系，还要求关心采样点之间的输入、输出关系，为了达到这个目的，必须对z变换作适当的扩展或改进，即为扩展z变换。 2.28*简述慢过程中采样周期的选择。
解答：对于惯性大，反应慢的生产过程，采样周期T要选长一些，不宜调节过于频繁。虽然T越小，复现原连续信号的精度越高，但是计算机的负担加重。因此，一般可根据被控对象的性质大致地选用采样周期。
2.29*简述快过程中采样周期的选择。
解答：对于一些快速系统，如直流调速系统、随动系统，要求响应快，抗干扰能力强，采样周期可以根据动态品质指标来选择。假如系统的预期开环频率特性如图2.7(a)所示，预期闭环频率特性如图2.7(b)所示，在一般情况下，闭环系统的频率特性具有低通滤波器的功能，当控制系统输入信号频率大于?0（谐振频率）时，幅值将会快速衰减。反馈理论告诉我们，
?0是很接近它的开环频率特性的截止频率?c，因此可以认为?0??c，这样，我们对被研
究的控制系统的频率特性可以这样认为：通过它的控制信号的最高分量是?c，超过?c的分量被大大地衰减掉了。根据经验，用计算机来实现模拟校正环节功能时，选择采样角频率：
?s?10?c
或
T??/5?c
可见，式（2.14）、式（2.15）是式（2.12）、式（2.13）的具体体现。
按式（2.15）选择采样周期T，则不仅不能产生采样信号的频谱混叠现象，而且对系统的预期校正会得到满意的结果。
(a)系统预期开环频率特性 (b)系统预期闭环频率特性
图2.7 频谱法分析系统
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在快速系统中，也可以根据系统上升时间来定采样周期，即保证上升时间内2到4次采样。设Tr为上升时间，Nr为上升时间采样次数，则经验公式为
Nr?Tr/T?2~4
2.30*简述两种外推装置组成的保持器。
解答：如果有一个脉冲序列u*(t)，现在的问题是如何从脉冲序列的全部信息中恢复原来的连续信号u(t)，这一信号的恢复过程是由保持器来完成的。从数学上来看，它的任务是解决在两个采样点之间的插值问题，因为在采样时刻是u(t)?u(kT)，t?kT,(k?0,1,2,?)，但是在两个相邻采样器时刻kT与(k?1)T之间即kT?t?(k?1)T的u(t)值，如何确定呢？这是保持器的任务。决定u(t)值时，只能依靠t?kT以前各采样时刻的值推算出来。实现这样一个外推的一个著名方法，是利用u(t)的幂级数展开公式，即
u(t)?u(kT)?u?(kT)(t?kT)?u??(kT)(t?kT)2??（1） 2式中，kT?t?(k?1)T。
为了计算式（2.18）中的各项系数值，必须求出函数u(t)在各个采样时刻的各阶导数值。但是，信号被采样后，u(t)的值仅在各个采样时刻才有意义，因此，这些导数可以用各采样时刻的各阶差商来表示。于是，u(t)在t?kT时刻的一阶导数的近似值，可以表示为
u?(kT)?1u(kT)?u?(k?1)T??（2） ?Tt?kT时刻的二阶导数的近似值为
u??(kT)?由于u??(k?1)T??1?u?(kT)?u??(k?1)T??（3） T1u(k?1)T?u???k?2?T?? T??所以将上式和式（2）代入式（3），整理得
u??(kT)?1u(kT)?2u???k?1?T???u???k?2?T??（4） T2??以此类推，可以得到其他各阶导数。外推装置是由硬件完成的，实践中经常用到的外推
装置是由式（1）的前一项或前两项组成的外推装置。按式（1）的第一项组成外推器，因所用的u(t)的多项式是零阶的，则将该外推装置称为零阶保持器；而按式（1）的前两项组成外推装置，因所用多项式是一阶的，则将该外推装置称为一阶保持器。 2.31*基于幅相频率特性，比较0阶保持器和1阶保持器的优缺点。
解答：零阶保持器的幅频特性和相频特性绘于图2.11中。由图2.11可以看出，零阶保持器的幅值随?增加而减少，具有低通滤波特性。但是，它不是一个理想的滤波器，它除了允许主频谱通过之外，还允许附加的高频频谱通过一部分，因此，被恢复的信号uh(t)与u(t)是有差别的，图2.9中uh(t)的阶梯波形就说明了这一点。
从相频特性上看，uh(t)比u(t)平均滞后T/2时间。零阶保持器附加了滞后相位移，
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增加了系统不稳定因素。但是和一阶或高阶保持器相比，它具有最小的相位滞后，而且反应快，对稳定性影响相对减少，再加上容易实现，所以在实际系统中，经常采样零阶保持器。
图2.11零阶保持器的幅频特性与相频特性
一阶保持器的幅频特性与相频特性绘于图2.14中。可见，一阶保持器的幅频特性比零阶保持器的要高，因此，离散频谱中的高频变量通过一阶保持器更容易些。另外，从相频特性上看，尽管在低频时一阶保持器相移比零阶保持器要小，但是在整个频率范围内，一阶保持器的相移要大得多，对系统稳定不利。加之一阶保持器结构复杂，所以虽然一阶保持器对输入信号有较好复现能力，但是实际上较少采用。
图2.14一阶保持器幅频与相频特性（虚线为零阶保持器频率特性）
2.32*简述A/D或 D/A分辨率与精度有何区别和联系。
解答：A/D的精度指转换后所得数字量相当于实际模拟量值的准确度，即指对应一个给定的数字量的实际模拟量输入与理论模拟量输入接近的程度。
A/D转换器的分辨率是指输出数字量对输入模拟量变化的分辨能力，利用它可以决定使输出数码增加（或减少）一位所需要的输入信号最小变化量。 D/A的精度指实际输出模拟量值与理论值之间接近的程度。
D/A转换器的分辨率是指输入数字量发生单位数码变化时输出模拟量的变化量。 2.33*何为超前扩展z变换？
解答：扩展z变换有超前和滞后两种形式，设图2.20中的曲线a为连续函数f(t)，其拉普拉斯变换为F(s)，其超前函数为f(t??T)，其中T为离散化时的采样周期，0???1表
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