OTm
m?题1.26.1图
设绳的弹性系数为k,则有
mg?kb ①
当 m?脱离下坠前，m与m?系统平衡.当m?脱离下坠前，m在拉力T作用下上升，之后作简运.运动微分方程为
? ② mg?k?y?a??m?y联立①② 得
???yga?b ③
y?gbb???ygy?0 b齐次方程通解
Y1?A1cos非齐次方程③的特解
gg t?A2sintbbY0?a?b
所以③的通解
Y1?A1cosggt?A2sint?a?b bb代入初始条件：t?0时，y?a?b?c,得A1?c,A2?0；故有
y?ccos即为m在任一时刻离上端O的距离.
gt?a?b b- 46 -
1.27解对于圆柱凸面上运动的质点受力分析如图1-24.
N??
mg题1.27.1图运动的轨迹的切线方向上有:
mgsin??mdv ① dt法线方向上有：
v2 ②
mgcos??N?mR对于①有gsin??dv?dvds（s为运动路程，亦即半圆柱周围弧长）即
dtdsdtvdv?gsin?ds
又因为
Rd??ds
即
vdv?gsin?Rd? ③
设质点刚离开圆柱面时速度v0，离开点与竖直方向夹角?0，对③式两边积分
?v00vdv???00gsin?Rd?
12v0?gR?1?cos?0? ④ 2刚离开圆柱面时N?0即
2v0mgcos?0?m ⑤
R联立④⑤ 得
- 47 -
2?0?arccos
3即为刚离开圆柱面时与竖直方向夹角.
1.28解 建立如题1.28.1图所示直角坐标.
ybOaAx
B题1.28.1图椭圆方程
x2y2?2?1 ① 2ab从A滑到最低点B，只有重力做功.机械能守恒.即
mgb?1mv2 ② 2设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为N则有：
v2 ③
N?mg?m??为B点的曲率半径. A?B的轨迹：
x2
y??b1?2a得
y??a2bxx； 1?2a2y???b?a21?x? ??1?a2????232又因为
- 48 -
1?所以
?k?y???1?y??322?b 2a?bb2?
N?mg??mg?2?2mgh?W?1?22???aa???故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为
mv2?b2?
W??1?2a2????方向垂直轨道向下.
1.29 解质点作平面直线运动，运动轨迹方程为
?x?a?2??sin2?? ①-②
??y??a?1?cos2??由曲线运动质点的受力分析，我们可以得到：
?v2mgcos??N?m??? ③-④ ??mgsin??mdv?dt?因为曲线上每点的曲率
k?所以
y???1?y??322 ⑤
dydyd?2asin2?sin2? ⑥ ???dxdx2a?2acos2?1?cos2?d?d2yd?dy?d?dy?d?
???????2dx?dx?d??dx?dxdx?2cos2??1?cos2???2sin22??1?cos2??2?11 ⑦ ?22a?2acos2?a?1?cos2??把⑥⑦代入曲率公式⑤中
- 49 -
k?1 4acos?所以
??由④
1?4acos? ⑧ kdvdvdsdv??v?gsin? dtdsdtds即vdv?gsin?ds，又有数学关系可知dy?dssin?，即vdv?gdy所以
v2?2gy??2ga?1?cos2?? ⑨
把⑧⑨代入①
v2 N?mgcos??m?mgcos??m2ga?1?cos2???2mgcos? 4acos?
1.30 证当题1.29所述运动轨迹的曲线不光滑时，质点的运动方程为：
?v2?mgcos??N?m?? ①②③④⑤ ?12??d?mv???mgsin???N?ds?????2由1.29题可知
??4acos? ②
由数学知识知
?d??ds ③
把①③④代入②
12dv?g?sin???cos??4acos?d???v2d? 2dv2?2?v2?4ag?sin2?????cos2?? ⑤ d???这是一个非齐次二阶微分方程.解为
v2?
ag22?? ?4?sin2??2cos2?1???2ag?Ce1??2????- 50 -