???所以
r?cos?
2acos???r?cos?r2?2cos2? 22??y???V?x??r?sin??2cos?sin????4???r?2cos?cos2??4sin?cos?sin?????
21.4 解 如题1.4.1图所示，
LAd?O第1.4题图xCB
OL绕O点以匀角速度转动，C在AB上滑动，因此C点有一个垂直杆的速度分量
v????OC??d2?x2
C点速度
v?d2?x2 2v??v?sec???dsec???cos?d又因为????所以C 点加速度
dv2?2xd2?x222?a???d?2sec??sec??tan???2d?sec?tan??dtd2??
1.5 解 由题可知，变加速度表示为
?t? ?a?c?1?sin?2T??由加速度的微分形式我们可知
a?代入得
dv dt- 21 -
?t? ?dv?c?1?sin?dt2T??对等式两边同时积分
?0可得 ：
vt??t?
dv?c??1?sin?dt0?2T?v?ct?2T?ccos?t2T?D（D为常数）
代入初始条件：t?0时，v?0，故
D??2T
c?即
?2T??t?? v?c?t?cos?1????2T????又因为
v?所以
ds
dt?2T??t???1??dt ds?c?t??cos??2T???对等式两边同时积分，可得：
?12T?2T?t??s?c?t2?sin?t?? ????2T???2
1.6 解 由题可知质点的位矢速度
v//??r①
沿垂直于位矢速度
v????
又因为 v//?r???r ， 即
???r r- 22 -
?r???即????? v???ra?dvdd?j（取位矢方向i，垂直位矢方向j） ?i???r?r?dtdtdt??所以
?ddrdi?j ?i????i?r???ri?r??rdtdtdt?ddr?d?????dj?r???j?r?j?r??2i r?j??j?rj?r?dtdtdtdt??故
?2i?r????2r?j ??a??r??r?????即 沿位矢方向加速度
a??r??r??2
??垂直位矢方向加速度
???2r??? a??r???对③求导
????2r r???r对④求导
???????r2??r????????????? r?r?把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得
?2?2 a//??r?2r???a????????
r??1.7 解 由题可知
?x?rcos? ①②
??y?rsin?对①求导
? ③ ??r?cos??rsin??x对③求导
?sin??r???sin??r??2cos?④ ??????xr?cos??2r- 23 -
对②求导
??r?sin??r??cos?⑤ y对⑤求导
?cos??r???cos??r??2sin?⑥ ??????yr?sin??2r对于加速度a，我们有如下关系见题1.7.1图
y?a??arO?题1.7.1图
x即
??arcos??a?sin?x?? ⑦--⑧ ???arsin??a?cos?y??对⑦⑧俩式分别作如下处理：⑦?cos?，⑧?sin? 即得
?cos??arcos??a?sin?cos?x?? ⑨--⑩ ??sin??arsin??a?sin?cos?y??⑨+⑩得
?cos????sin? ⑾ ar??xy把④⑥代入 ⑾得
ar??r??r??2
同理可得
???2r? ??a??r?1.8解 以焦点F为坐标原点，运动如题1.8.1图所示]
y??OFMx
题1.8.1图- 24 -
则M点坐标
?x?rcos? ??y?rsin?对x,y两式分别求导
?sin????r?cos??r??x ??cos????r?sin??r??y故
?sin??2?y?2?r?cos??r?v2?x如图所示的椭圆的极坐标表示法为
????r?sin??r??cos??22?2?r2?2 ?ra1?e2
r?1?ecos?对r求导可得（利用????）又因为
11ecos? ??ra1?e2a1?e2??????即
a1?e2?r cos??re所以
??a2?1?e2??r2?2ar?1?e2? 22sin??1?cos??1?r2e22故有
v?e2?2r4a1?e22e2?2r4a21?e2a1?e2??2sin2??r2?2
??22?[1??22??r?2ar1?er2e22?2?]?r2?2
?e2r2?r2?2ar1?e2??2r2r2?2?2????2?2a?r?r 22a1?e?1?eb?????即
v?r?br?2a?r?
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