ke?ar＜0
V?r??,kr试求
?a?中子与质子间的引力表达式，并与平方反比定律相比较；
?b?求质量为m的粒子作半径为a的圆运动的动量矩J及能量E。
1.38 已知作用在质点上的力为
Fx?a11x?a12y?a13zFy?a21x?a22y?a23z Fz?a31x?a32y?a33z式中系数aij?i,j?1,2,3?都是常数。问这些aij应满足什么条件，才有势能存在？如这些条件满足，试计算其势能。
1.39 一质点受一与距离3次方成反比的引力作用在一直线上运动。试证此质点自无穷远到
2达a时的速率和自a静止出发到达a时的速率相同。
41.40 一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，求其达到O点所需的时间。 1.41 试导出下面有心力量值的公式：
mh2dp?2 F?2dr式中m为质点的质点，r为质点到力心的距离，h?r2???常数，p为力心到轨道切线的垂直距离。
1.42 试利用上题的结果，证明：
?a?如质点走一圆周，同时力心位于此圆上，则力与距离五次方成反比。
?b?如一质点走一对数螺线，而其质点即力心，则力与距离立方成反比。
1.43 质点所受的有心力如果为
??2?? F??m??r2?r3????式中?及?都是常数，并且?＜h2，则其轨道方程可写成
r?2a 1?ecosk?22222h??khAkh（为积分常数）试证明之。式中k?。 ,a?,e?A222h??1.45 如s?p为质点在远日点及近日点处的速率，试证明 ?a及s- 16 -
?p﹕ss?a=?1?e?﹕?1?e?
1.46 质点在有心力作用下运动。此力的量值为质点到力心距离r的函数，而质点的速率则
?， 与距离成反比，即v?a。如果a2＞h2h?r2?求点的轨道方程。设当r?r0时，??0。
r??1.47 ?a?某彗星的轨道为抛物线，其近日点距离为地球轨道（假定为圆形）半径的1。则此
n彗星运行时，在地球轨道内停留的时间为一年的
2n?2n?1 3?n2n倍，试证明之。
?b?试再证任何作抛物线轨道的彗星停留在地球轨道（仍假定为圆形）内的最长时间为一年的2倍，或约为76日。
3?1.48 试根据§1.9中所给出的我国第一颗人造地球卫星的数据，求此卫星在近地点和远地点的速率v及v以及它绕地球运行的周期?（参看79页）。
121.49 在行星绕太阳的椭圆运动中，如令a?r?aecosE,2?dt?T，式中?为周期，a为
??半长轴，e为偏心率，E为一个新的参量，在天文学上叫做偏近点角。试由能量方程推出下面的开普勒方程：
T?E?esinE
1.50 质量为m的质点在有心斥力场mc中运动，式中r为质点到力心O的距离，c为常数。
r3当质点离O很远时，质点的速度为v，而其渐进性与O的垂直距离则为?（即瞄准距离）。
?试求质点与O的最近距离a。
O?av??A第1.50题图m?
v
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第一章习题解答
1.1 由题可知示意图如题1.1.1图:
SS?t2设开始计时的时刻速度为v0,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a. 则有:
12?s?vt?at101??2 ??2s?v?t?t??1a?t?t?201212?2?由以上两式得
?t1
题1.1.1图v0?再由此式得
s1?at1 t12a?证明完毕.
2s?t2?t1? t1t2?t1?t2?1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1.2.1图.
AO
B题1.2.1图1?设A船经过t0小时向东经过灯塔,则向北行驶的B船经过??t0?1?小时经过灯塔2??任意时刻A船的坐标
xA???15t0?15t?，yA?0
B船坐标xB?0，
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???1?yB???15?t0?1??15t?
2????则AB船间距离的平方
22d2??xA?xB???yA?yB?
即
d2??15t0?15t?22???1???15?t0?1??15t?
2????2?225t02?450t??900t0?675?t1???225?t0?1?
2??2d2对时间t求导
dd2?900t??900t0?675? dt??dd2 船相距最近，即AB?0，所以 dtt?t0?3 h4??即午后45分钟时两船相距最近最近距离
smin3??33????15????15??15??km
4??42??221.3 解 ?1?如题1.3.2图
yAraC?O?aBx
第1.3题图yA??r?OC?a
Bx?题1.3.2图- 19 -
由题分析可知，点C的坐标为
?x?rcos??acos? ??y?asin?又由于在?AOB中，有
r2a?sin?sin?sin??（正弦定理）所以
2asin?2y
?rr联立以上各式运用
sin2??cos2??1
由此可得
22x?acos?x?a?ycos???rr
得
222224y2x?a?y?2xa?y ??1r2r2得
3y2?x2?a2?r2?2xa2?y2
化简整理可得
24x2a2?y2?x2?3y2?a2?r2
????此即为C点的轨道方程. （2）要求C点的速度，分别求导
r?cos???x??r?sin??sin??2cos?? ?r?cos??y???2?其中
? ???又因为
rsin??2asin?
对两边分别求导 故有
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